Если функция имеет в точке 0 производные всевоз можных порядков, то для нее может быть по формулам (40) составлен ряд Маклорена; как говорят, такая функция имеет ряд Маклорена или обладает рядом Маклорена. Однако если функция и обладает рядом Маклорена, то это еще не означает, что она может быть разложена в степенной ряд. Молено указать такие функ ции, которые хотя и обладают рядами Маклорена, но
ряды эти |
расходятся |
при |
любом х ф |
0. |
Может |
также |
случиться, что функция /(.ѵ) имеет ряд |
Маклорена, и |
этот ряд |
сходится не |
только при х = |
0, |
но сумма |
s(x) |
ряда не совпадает с функцией |
f{x). |
|
|
|
Таким |
образом, |
для |
того, |
чтобы |
функция |
могла |
быть разложена в степенной ряд, она должна не только иметь производные всех порядков в точке 0, но удовле творять еще и другим условиям. Не входя в подробное исследование этого вопроса, ограничимся лишь указа
нием, что функции ех, |
s'inx, cos л-, |
(1 -f- х)а |
( а — |
любое |
вещественное |
число, |
отличное |
от |
0) и aresin л; |
могут |
быть разложены в степенные |
ряды |
(являющиеся |
ряда |
ми Маклорена |
этих |
функций) |
в областях |
сходимости |
этих рядов. Иными словами, сумма ряда Маклорена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждой |
из указанных |
функций |
равна |
самой |
функции |
при |
любом |
x, содерлеащемся в области сходимости ряда. |
§ |
101. |
Разложение функций |
е*, sinx, |
cosx, |
(1 + |
х)а |
и arcsin x |
в степенные ряды. Как это вытекает из ска |
занного |
в |
предыдущем |
параграфе, для |
разложения |
в |
ряды перечисленных в заголовке функций достаточно найти ряды Маклорена этих функций и определить об ласть сходимости каждого ряда. Для функций ех, sinx, cosx и ( 1 + х ) а коэффициенты Маклорена легко опре деляются при помощи нахождения первой, второй и т.д. производных каждой из этих функций. Для разложения функции arcsin х мы выберем иной путь, потому что вычисление производных высших порядков этой функ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции довольно |
затруднительно. |
|
|
|
|
|
1) Р а з л о ж е н и е |
в с т е п е н н о й |
р я д |
ф у н к |
ц и и ех. |
Пусть f(x) |
— ex. Для |
любого х |
имеем |
|
/' (x) = |
е \ |
/" |
(х) = |
е*, |
V" (х) |
= |
е\ |
. . . , |
(х) = |
е', . . . |
Полагая |
х = |
0, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
f(0) = |
e ° = l , |
f'(0) |
= |
l , |
Г ( 0 ) = 1 , |
|
|
|
|
Г ' ( 0 ) = 1 , |
. . . . /<я '(0)=1, . . . |
|
Теперь по формулам (40) вычисляем коэффициенты ряда Маклорена
«о = |
/(0) = |
1; |
а , = П 0 ) = І ; |
«2 = ^ |
= ^ . |
|
_ Г" |
(0) _ |
1 |
_ |
/<"' (0) |
_ |
1 |
3 |
зі |
— |
3! |
а « ~ |
п\ |
~ |
п\ ' ' ' " |
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (41), получаем ряд Маклорена функции ех:
І + т + і г + ^ г + ••• + ^ г + •••
В примере 4 § 97 мы нашли, что полученный ряд сходится в промежутке (—oo,-f-oo); следовательно, при любом x имеет место разложение
ношению* = |
1 |
+ т + і г - + £ + |
- |
+-£+•••• |
< > |
е |
|
|
х = \ , |
|
42 |
Положив |
в |
равенстве (37) |
приходим |
к соот |
|
|
+ |
1 + |
••• |
•••• |
< 4 3 > |
представляющему число е в виде суммы ряда.
Члены этого ряда быстро убывают по своей величине и поэтому он удобен для вычисления числа е. Как мы сейчас увидим, для
получения значения числа е с |
четырьмя верными знаками доста |
точно взять лишь семь членов |
ряда |
(43). Отбрасывая все осталь |
ные члены, мы делаем ошибку |
|
|
|
|
0 |
= ТГ + |
'8Т+- |
Вынося здесь первый член за скобки, получаем |
±(і+±. |
8 |
8 |
1 |
|
1 |
71 V |
1 |
|
|
|
« 9 |
8 . 9 « 1 0 |
Если мы в знаменателях дробей в скобках все множители, большие
чем 8, заменим 8, то этим лишь |
увеличим дроби, так что |
|
|
|
•+• |
|
|
e < w ( 1 + T + |
F + "F + •'•)• |
|
|
« |
|
. |
1 |
8 |
В скобках мы имеем прогрессию, сумма которой равна |
- у = |
у . |
|
|
1 |
- |
|
|
|
1 |
8 |
|
Следовательно,
ô < 1 . 2 . 3 . I . 5 . 6 . 7 ' f < ° - 0 0 0 3 '
Вычислим теперь последовательно в десятичных |
дробях первые |
семь |
членов ряда |
(43), отбрасывая |
все знаки, начиная со стотысяч |
ных |
н производя |
округление по правилу дополнения; |
получаем |
|
|
1 = |
1,0000 |
|
|
|
1 = |
1,0000 |
|
.1= 0,5000
•37 = 0,1667
^ - = 0,0417
1 =0,0083
51
•1 = 0,0014
сумма = 2,7181.
Три первые из этих равенств — точные; в каждом из остальных по грешность не превосходит 1/2 десятитысячной доли; таким образом, погрешность суммы не превосходит двух десятитысячных; следовательно, общая погрешность не превосходит 0,0002 + ô < <0,0002 + 0,0003 = 0,0005. Поэтому в приближенном значении 2,718 числа е все четыре знака верны.
2) Р а з л о ж е н и е в с т е п е н н о й р я д ф у н к ц и и
sin Л;. Пусть f(x)~ |
sinx. |
Имеем |
|
|
|
Y |
(x) |
= cos x, |
|
f" |
{x) = |
— s i n |
x, |
V" |
(x) |
— — cos x, |
flv |
(x) = |
sin x, |
. . . ; |
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
f(0) = 0, f'(0)=l, |
H 0 ) |
= |
0, / " ' ( 0 ) = - l , |
/ J V (0) = 0 , . . . |
a0 = 0, a, = l , a2 = 0, a3= — ~ , |
a4 = 0, a5 = ~ , . . . |
Подставляя найденные значения коэффициентов в фор
мулу |
(41), |
получаем ряд |
Маклорена |
функции |
sinx |
|
x3 |
xs |
x7 |
n-i |
x2a~l |
|
Х |
ЗГ~*"~5! |
Т Г ^ " |
|
(2п- 1)! |
+ " • • |
Нетрудно убедиться, что этот ряд сходится на всей чис
ловой |
оси. |
|
|
для любого х имеет |
|
|
Следовательно, |
место разложение |
sinx = |
x - |
x 3 |
x5 |
x7 |
-i |
x 2 " - 1 |
i r |
+ — |
- — |
|
_ _ + . . . |
|
|
|
|
|
|
(44) |
|
Можно доказать, что разность между суммой знакочередующе |
гося |
ряда, удовлетворяющего условиям |
теоремы |
Лейбница |
(§ 94), |
и его частичной суммой по абсолютной |
величине |
меньше абсолют |
ной |
величины первого из отброшенных |
членов. |
Благодаря |
такой |
простой оценке погрешности знакочередующиеся ряды часто оказы
ваются очень удобными для приближенных |
вычислений. |
|
|
|
|
Вычислим для примера |
sin 1° с точностью до 0,00001. |
|
|
|
Заметим, прежде всего, что в разложении |
(44) |
переменная к |
предполагается |
|
выраженной |
в |
радианах. |
|
Для |
угла |
в |
1° |
значение |
x = |
jt |
|
0,017453 . . . <0,02. |
Поэтому |
уж е |
второй |
|
х 3 |
-^г- раз- |
-г57г = |
член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,023 |
|
|
ложення |
(44) |
по абсолютной |
величине |
меньше |
чем —^—<0,000002. |
Таким образом, ограничиваясь для вычисления |
sin 1° |
только пер |
вым |
членом ряда |
|
(44) и отбрасывая |
все остальные |
его члены, |
полу |
чаем абсолютную погрешность, меньшую чем 0,000002; |
следова |
тельно, |
в |
приближенном |
значении |
sin 1° = |
0,01745 |
все знаки |
верны. |
|
3) Р а з л о ж е н и е в с т е п е н н о й р я д ф у н к ц и и |
cos x. Искомое |
|
разложение |
|
может |
|
быть найдено |
таким |
же |
путем, как |
|
и разложение |
в ряд функций |
sinx, |
т. е. |
путем составления ряда Маклорена функции |
cosx. Од |
нако той же цели можно достичь |
проще, |
продифферен |
цировав |
почленно уже найденное |
разложение (44) функ |
ции sinx; итак, дифференцируя почленно |
ряд (44), по |
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
Зх2 |
_ |
, |
5х4 |
_ |
7х6 |
_ |
, |
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
с о |
з л |
= |
1 _ |
|
г + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
1 |
4 „ - i (2п- |
|
І ) х 2 |
" - 2 |
, |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
• • ' " r i - |
^ |
|
|
( 2 « - l) l |
h |
• • ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A"2 |
|
|
|
t 4 |
|
X 6 |
|
|
|
|
|
|
|
П - І X 2 " " 2 |
|
( 2 7 Г = |
C 0 S |
* = |
1 |
- ! T + î r - б Г + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(44*) |
|
Ряд |
(44*) |
|
сходится |
на |
всей |
числовой |
оси; следова |
тельно, |
и найденное |
|
разложение |
функции |
cos л: также |
справедливо для любого х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Р а з л о ж е н и е в с т е п е н н о й р я д ф у н к ц и и |
(Ï-\-х)а |
|
(а — любое |
|
вещественное |
число |
отличное от |
нуля). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f (х) — (1 + х)а. |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (x) = |
а (1 + |
|
х)а-\ |
/" (x) = |
а (а - |
|
1) (1 + |
|
xf~\ |
|
|
Г" |
(x) = |
а (а - |
|
1) (а - |
2) (1 + |
* ) а " 3 , |
. . . , fn) |
(х) |
= |
|
|
|
|
|
= |
а(а |
|
— 1)(а |
—2) |
. . . (а —л+ |
|
1)(1 + |
х)*"1, . . . |
Положив во всех этих равенствах х = О, получаем
/ ( 0 ) = 1 , |
// (0) = |
о, |
/"(0) = < х ( а - 1 ) , |
|
|
/"'(0) = |
а ( а - 1 ) ( а - 2 ) , . . . |
|
. . . , fw |
(0) = |
а (а - |
1) (а - |
2) . . . (а - п + 1), . . . |
|
По формулам (40) вычисляем коэффициенты ряда |
Маклорена |
функции |
(і |
|
-\-х)а |
|
|
„ _ і п |
п |
_ а ( а - 1 ) |
_ _ а ( а - 1 ) ( а - 2 ) |
|
|
|
|
|
21 |
' J |
3! |
(45) |
|
|
а (а - 1) ( а - 2 ) . . . ( а - п+ \) |
|
|
|
следовательно, ряд Маклорена функции (1+л:)а имеет вид:
1 + |
а х + |
« І ^ р » . * + |
» (« - 0 (° - 2 ) л з + . . . |
|
|
|
|
|
|
|
, а ( и - 1 ) ( а - 2 ) . . . ( а - п + 1 ) „ r t |
, |
|
|
|
. . . -і |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
••• |
|
Найдем |
его |
промежуток |
сходимости, |
предполагая, |
что а не целое положительное |
число: |
|
|
|
|
|
l i m |
1 а ( Д - D ( а - 2 ) |
. . . ( g - n + |
I) (a-n)xn+] |
|
\n\ |
|
_ |
|
n ^ c o |
( |
« + 1)! | a ( a - |
1) ( g - 2 ) . . . |
(a-n |
+ |
l)x"\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
lim f ±£L=_5_L I je Л :—: Hm |
l1u+ 1П |
\x\=\x\. |
Отсюда |
заключаем, что ряд |
сходится при |
\х\<. |
1, т. е. |
в промежутке |
(—1, 1). Таким |
образом, |
в |
|
промежутке |
(—1, 1) имеет место разложение: |
|
|
|
|
|
|
( 1 |
+ х ) ° = і + |
а х |
+ |
^ І І Л : 2 |
+ |
а ( |
а ~ 3 | ( |
а |
~ 2 ) |
л |
: 3 + |
••• |
|
|
|
4 - Q (a — 1) (а —2) . . . (а — n + 1) ^ |
|
_ j _ |
|
Этот ряд и при x = rfcl имеет своей суммой функцию (I-\-х)а, если только он оказывается сходящимся.
Ряд (46) называется биномиальным рядом.
Если а есть целое положительное число, например 3, то, вычисляя по формулам (45) коэффициенты а0, ах,
