Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 174

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ß2 , . . . . найдем

„ _ i

ß

_ q

 

„ _ 3 ( 3 - l ) _ o

 

а з

3 ( 3 - 1 )

( 3 - 2 ) ,

fl0

= i ,

 

^ — à,

a2

= — g ] —

d>

 

ЗІ

1

»

 

 

 

n

 

_

3 (3 -

1) (3 -

2)

(3 - 3)

_

n

 

 

 

 

 

a

*

—

 

 

 

4i

 

 

 

 

u '

 

 

 

 

 

_

 

3 (3 -

1) (3 -

2)

(3 -

3)

(3 -

4)

_ n

 

 

 

 

 

a5—

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

u,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a6

=

0 и т. д.

 

 

 

 

 

Следовательно,

в

этом

случае

ряд

(46)

обрывается

на

четвертом

члене,

и

равенство

принимает

вид:

 

 

 

 

 

(1 + х ) 3 = 1 + Зх + Зх2 + х3.

 

 

 

Вообще, если

а

есть

ц е л о е

п о л о ж и т е л ь н о е

число m, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (m — 1).. .(m — m +

1)

 

 

 

m (m—

1).. .(m—m)

~

ß m

~

 

 

ml

 

 

' a ' " + i —

 

( m + 1 ) 1

 

*

 

 

 

 

 

 

û ; n + 2 =

0

И

T.

Д.

 

 

 

 

В этом случае ряд (46) обращается в конечный много­ член, и мы приходим к соотношению

( l + x r ^ l + t n x + ^ ^ x 2 +

m { m - l l { m - 2 ) x 3 + . . .

I m (m — 1)

. . . (m — m+l)

m

. . . ï

—}

X . (<il)

Это равенство носит наименование «бинома Ньютона».

Разумеется, формула

(47) справедлива

не

только при

\х\<.

1, но вообще при любом значении х.

 

5) Р а з л о ж е н и е в с т е п е н н о й р я д ф у н к ц и и

arcsin x. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JI • г- d x

 

— [arc sin х]х = arc sin x.

Разложим подынтегральную функцию ^

г

= (1 —х2 ) 2

в ряд по формуле

(46), заменяя в ней х

на

—х2 и, по-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

лагая

а =

— у ,

получаем

 

 

 

ѴТ=х*

=

1 +±х2

+ —

х< +

 

 

 

 

'

21 ~ 2

'.

2Ь-4З

 

 

 

 

 

 

 

 

- 1 . 11., 3 , 5 ѵб_і_ Ь З - 5 - 7

о

„ .

 

 

 

 

~

92 . 4

.. 6fi "

I 29 -. 4 '. 6fi'.8»

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

1

Л

 

339

Интегрируем это равенство в пределах от 0 до д:(| x |< 1);

X X X X

 

, 1-3-5

6 , , 1-3-5-7

Л:й A t +

агс8іпл =

д: +. т1 . -

хт +. т

т1 . *-

т +

1"т7 Г

І . - т

+

 

 

2 - 4 - 6

 

 

 

2 • 4 • 6 • 8

отсюда

 

3

б• 3

х»

. ! - 3 • 5и

л-7 .

Мы исходили

из

разложения

(48), справедливого

лишь при

I — д.'21 = x2

< 1, т. е. при \х\<С 1; значит, раз­

ложение (49) безусловно действительно в промежутке

(—1, + 1).

Нетрудно

 

показать,

 

что ряд (49)

 

сходится

при

значениях

 

х = ±\\

поэтому

ряд (49)

имеет

своей

суммой функцию arcsinх на отрезке [—1,4-1],

а

не

только в промежутке

( —1,'+1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим

при помощи

 

разложения

(49) число п с тремя

зна­

ками. Положим

х=—,

тогда

arc sin —

=

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

І

•

 

 

± j _ ±

1 , 1 - 3

 

1

 

 

1-3-5

1

 

 

 

 

 

6 =

arc sin 2

 

2

 

2 ' 3 - 2

 

2 - 4

" 5 - 2

 

2 - 4 - 6 " 7 . 2

 

"

"

••"

или

 

1—

+

3 _ h

5 +

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

ü = ± j - ± J _

 

J

 

1_ , _ 5 _ J_

 

 

 

 

 

 

 

 

6

2 +

 

6 '

23 +

 

40 '

25

+

112 '

27 +

 

 

 

 

 

 

или

 

 

"

 

1 I

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

I

3

5

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2 ^

48 т

1280 т

14336

т

 

 

 

 

 

 

 

Ограничившись

написанными

четырьмя

членами,

можно,

как и

при

вычислении

 

числа

е,

 

показать,

что мы делаем погрешность

0 <

б < 0,0001. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

=

0,5000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 г =

0,0208

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1280 = 0,0023

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,4336- =

0 ' 0 0 0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумма =

0,5234.

 

 

 

 

 

 

 

340

Погрешность

найденной

суммы

меньше

0,0002,

но

больше

—0,0002;

присоединяя погрешность б,

находим,

что общая

ошибка

меньше

0,0003, но

больше

—0,0002,

так что 0,5232

< 0,5237,

о

или 3,1392 < я < 3,1422. Отсюда, округляя найденное значение, по­ лучим я А! 3,14, где все три знака верны.

§ 102. Ряды в комплексной области. 1. Понятие ряда распространяется на случай, когда членами его являют­ ся не вещественные числа, а комплексные; таким путем приходят к рассмотрению рядов вида

(»і + tod +

(«2 +

ft>a)

+ . . .

+(uH + lva)+ . . . .

(50)

где «i, « 2 , . . . .

ип,

vu

v2,

v n , —

вещественные

числа и i — мнимая

единица.

(Понятие

мнимой

едини­

цы мы считаем известным учащимся из школьного

курса.)

 

 

 

сходящимся,

 

 

 

 

Ряд (50)

называется

если

сходятся в

отдельности ряды из действительных частей

и из

коэф­

фициентов при

мнимых

частях

членов

ряда

(50), т. е.

если сходятся

ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« 1 + « 2 + • • • + " n +

• • •

 

 

 

( 5 1 )

 

 

V, +

V2 +

. . .

+

vn + . . .

 

 

(52)

Обозначим

 

через Un

сумму

п

первых

членов

ряда

(51) и через

Ѵ„ — сумму

п первых

членов

ряда (52); в

случае сходимости

этих рядов существуют пределы

 

lim Un = U

и

lim Ѵа = Ѵ.

 

 

 

Комплексное

число

 

U + iV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называют в таком случае суммой ряда

(50).

 

 

Т е о р е м а .

Ряд

(50)

сходится,

если

сходится

ряд,

составленный

из модулей

его

членов*).

-

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По условию

теоремы ряд

YuJT^

+

VuJ+^2+

. . .

 

 

 

 

•••

 

сходится. Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Модулем

комплексного числа a-fbi называется веществен­

ное число 1 а +

Ы\ =• Va? + b'1,

- 341

(п = 1, 2, . . . ) , то по признаку сравнения рядов сходят­ ся (и притом абсолютно) и ряды (51) и (52). Тогда со­ гласно определению сходится и ряд (50).

2. В комплексной области рассматриваются также и степенные ряды

с0 + cyz + c2z2 + ... + с„г"4- ....

где

 

сп = <*п + ibn, z = x + iy

(п = 0, 1, 2, . . . ) .

Здесь ап и Ьп — вещественные

числа, ахи у — незави­

симые переменные, принимающие лишь вещественные значения.

По доказанной теореме такой ряд будет сходиться, если сходится ряд, составленный из модулей его чле­ нов, т. е. ряд

k o l + k i l | z | +

| c 2 | [ z 2 | + . . . + \cn\\zn\

+ . . .

§ 103. Формулы

Эйлера*). Если х—вещественная пе­

ременная величина,

то, как известно, при любом х имеет

место разложение

 

 

^ + Т Г + І Г + - 5 Г + -

<4 2 )

Если 2 = x +

іу,

то п о о п р е д е л е н и ю

полагают

е г

= 1

+ т + іг + іг+ •••

<53)

Составим ряд из модулей членов ряда (53):

-Г

И

1-

2 1

-Г . . .

-f

п 1

 

Применяя

правило Даламбера, находим

 

 

lim — -

, r

— ГТГ =

lim

І - 2 - = 0

при любых значениях x и y. Следовательно, ряд (53) сходится при всех значениях комплексного числа z; тем самым функция ez определена для всех значений z.

*)

Л. Эйлер (1707—1783)—один

из величайших

математиков

всех времен, швейцарец по происхождению, член

Петербургской Ака­

демии

наук. Большую часть своей

творческой

жизни

он прожил

в России, ставшей для него второй родиной.

 

 

342

Смотрите также файлы