Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

" + " t l T ~ " " 3 T " , " ^ r _ 7 i " F " - , - J '

Согласно (44*) и (44) суммы рядов, стоящих в скобках, соответственно равны c o s * и s i n * . Таким образом, мы приходим к следующей замечательной формуле:

Формулы (55) и (55*) называются формулами Эй­ лера.

Из формул Эйлера нетрудно получить следующие

343

определенный период времени Т. Так, например, при установившемся режиме работы паровой машины ее движущиеся части через определенные промежутки вре­

чиной является сила переменного тока. В природе мы

таких явлений привела к понятию периодической функ­ ции.

Если значение функции /(/) не изменяется от при­ бавления к любому допустимому значению ее аргумента числа Т Ф 0,

Различные величины, участвующие в упомянутых выше явлениях, представляют собой периодические функции времени /: периодическая функция f(l) по прошествии периода Т вновь принимает свое первона­ чальное значение. Само собой понятно, что через каж­ дый из промежутков времени 27", 37", . . . значения функ­

Простейшие из периодических функций—это функ­ ции A sin at и A cos и/, где А и со— определенные числа. Пусть наименьший период функции A sin©/ есть 7"; тогда

A sin со (/ + Т) = A sin со/

или

sin (со/ +- соГ) = sin со/.

344

С другой стороны, из тригонометрии известно, что

sin (<ùt + 2л) = sin Ы.

Сопоставляя последние равенства с предыдущим, за­ ключаем, что аТ — 2я, откуда

ляют собой волнообразные кривые; на рис. 118 пред­ ставлены графики функций у — A sin ©г, отвечающие

У

-1

Рис. 118.

одному и тому же значению амплитуды .4 = 1 и значениям частот < в = 1 , со == 2 и а —--^ .

В природе периодический процесс весьма редко про­

но представить в виде суммы простейших периодиче­ ских функций с частотами, кратными ю (т. е. с часто­ тами о, 2(0, Зсі> и т. д.), и соответственно подобранными амплитудами. Точно же периодическую функцию [(/) (по крайней мере из большинства тех, с которыми приходится встречаться на практике) оказывается

345

возможным представить как сумму ряда вида:

в с е м д а л ь н е й ш е м б у д е м р а с с м а т р и в а т ь от­ р е з о к [0,2л].

§ 105. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье. 1. Пусть известно, что функция f(x) может быть разложена в тригонометрический ряд на отрезке [0,2л], но самый ряд неизвестен. Чтобы получить этот ряд, требуется,

*) Разумеется, период 2я не для всех членов ряда является наименьшим.

346

jsinkxdx~0 и J cos kx dx — 0.

Действительно, сделаем подстановку: kx = и; тогда х=-у, dx = —£-. Находим пределы интеграла по но­ вой переменной и; при х = 0 из равенства kx — u на­ ходим: и = 0; полагая х = 2л, получаем: и = 2&л, .Сле­ довательно,

оü

347