формулой тригонометрии |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (ni — n) x — cos (m + n) x = |
2 sin mx sin |
nx. |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin nix sin nx dx — \- |
J[cos (in — n)x —- cos(m -|- л) x] dx |
= |
|
2Я |
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
J" cos (лг — n) x dx |
— |
j cos (m.-f- л) x |
dx |
|
|
_ 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Здесь in — n и |
m + |
« — целые |
числа, |
|
причем |
m -(- |
+ п =Н= 0, и так |
как |
/л Ф п, то |
и т — пф |
0. |
Следова |
тельно, каждый из последних интегралов равен 0, а по |
тому и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j " |
sin |
mx sin nx dx = |
0. |
|
|
|
|
|
|
Если же /п = |
л, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
2л |
sin mxsin nx dx = |
2л |
sin2 лх dx = |
~ |
2я |
1 — cos 2nx) dx |
= |
J |
J |
J ( |
о |
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
3) В ы ч и с л е н и е |
и н т е г р а л а |
|
j " |
cos /лх cos nx |
dx. |
о
При ш=?^л интеграл вычисляется применением формулы cos (m + n) x -f- cos (/л — л) x = 2 cos шх cos пх.
Таким образом,
2л
cos mx cos пх dx |
= |
Г 2л |
2л |
J |
cos (m + л) x dx + J cos (m — л) x dx |
_o |
о |
Каждый из интегралов, стоящих в квадратных скобках, равен нулю, так как т-{-п и m — л — целые числа, не равные 0,
Поэтому если m Ф п, то
2л
j cos mx cos nx dx = 0.
Если же m = n, то
cos mx cos /гх dx = Jcos2 nx dx — - у j * (1 + cos 2/гх) dx
оо
= T { W o " + i - [ s m 2 r f } = я.
|
2л |
|
4) В ы ч и с л е н и е |
и н т е г р а л а J" sin /гх cos |
mx dx. |
|
о |
|
Воспользовавшись формулой |
|
sin (m + n) Л: + |
sin (m — л) x = 2 sin mx cos nx |
(заметим, что sin (/n — n)x = 0 при m = n), мы |
совер |
шенно так же, как и в предыдущих случаях, найдем, что
2л |
|
J* sin mx cos nx dx = 0 как при тфп, |
так и при т = п. |
о |
|
2. Переходим теперь к вопросу |
об определении ко |
эффициентов разложения |
|
{(х) = -у- - f a, cosx-f-ô, sinx + a2 cos 2x-f-ô2 sin2x + ... (F)
(на отрезке [0, 2я]). |
|
Проинтегрируем |
почленно |
это равенство в пределах |
от 0 до 2я |
|
|
|
2л |
2я |
2л |
2я |
J / (x) dx = |
-у4 J dx - f G, J cos x dx + &[ J sin x dx + |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
2л |
2л |
|
+ |
<h j c o s |
2x dx + ft2 J sin 2x dx -f- |
о0
Вправой части все интегралы, кроме первого, являются интегралами типа 1) из рассмотренных в предыдущем
пункте; как мы видели, все они равны нулю, следова тельно, полученное равенство сводится к соотношению
|
|
Ù |
|
|
о |
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jf(x)dx |
|
= |
^[x]f=aun, |
|
|
что дает |
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
~1 |
|
|
|
|
|
о 0 |
\f(x)dx. |
|
(56) |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
Чтобы определить |
коэффициент |
ап, где п ф |
О, умно |
жим |
обе части равенства |
(F) на cosnx и затем |
почлен |
но |
проинтегрируем |
в пределах от 0 до 2л; получим |
|
|
|
|
|
2л |
|
|
2Я |
|
|
J |
f (х) cos rix dx = ~ |
J* cos nx dx + |
я, J cos x cos nx dx |
+ |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2я |
|
|
2л |
|
|
|
|
+ |
bi |
j" sin x cos nx dx + a |
2 |
J c ° s 2x cos nx dx -f- |
|
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
2л |
|
|
|
+ |
b2 |
J sin 2x cos nx dx + |
. . . -{- a„ J cos nx cos nx dx + |
|
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
2л |
|
|
|
+ |
bn |
J sinnxcosnxdx-r- a„ + , J cos (n + 1) x cos nxdx-f-.-. |
|
|
о |
|
|
|
о |
|
(57) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
2я |
|
|
|
Как |
мы видели, |
j" cos nx dx = 0, |
J* cos mx cos nx dx = 0 |
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
при |
m ф n, |
|
j |
" |
sin mx cos nx dx — 0, |
и |
инт |
2я |
|
о |
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j cos nx cos nx dx = |
j |
cos2 |
nxdx = n. Следовательно, все |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
