равны |
нулю; |
поэтому получаем |
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j / (х) sin nx dx = |
Ьпп, |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
Ъа |
= - 1 j / (A-) sin /г,ѵ |
rfjc |
(а = |
1, |
2, |
3, |
. . . ). |
(59) |
|
о |
ап и 6(1 определяются по |
|
Итак,' коэффициенты |
фор |
мулам |
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Г |
|
|
|
|
|
|
|
а„ = — |
/ (A.') COS ИХ dx |
(n = |
0, |
1, |
2, |
3, . . . ) , |
(58) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
* „ = - 1 |
j"/(*)sinn*rfjc |
(/г = |
1, |
2, |
3, |
. . . ) • |
(59) |
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты тригонометрического |
ряда, определяе |
мые при помощи этих формул, называют обычно ко эффициентами Фурье*) (хотя формулы (58) и (59) найдены были впервые Эйлером). Ряд (F), который
строится |
по этим |
формулам, |
называют рядом |
Фурье. |
З а м е ч а н и е . |
Законность |
операций, |
которые мы |
производили |
при |
выводе формул (58) и |
(59), |
устанав |
ливается |
в |
полных курсах математического |
анализа; |
здесь же, ввиду большой сложности доказательств, мы совершенно не касаемся этого вопроса.
3. Прежде чем переходить к примерам разложения функций в ряд Фурье, рассмотрим одно правило инте грирования, к которому приходится часто прибегать при вычислении коэффициентов Фурье. Это правило, носящее наименование «интегрирование по частям», основано на обращении правила дифференцирования произведения двух функций аргумента х; последнее вы ражается, как известно, формулой
(иѵ)' = u'v - j - uv'.
Отсюда
j(uv)r dx = J(«'f + uv')dx
*) Ж . Фурье (1768—1830) -—знаменитый французский математик,
или
uv + С = jv(u' dx) + J и (v' dx).
Замечая,"что |
и'dx = |
du и |
v'dx |
— dv, |
получаем: |
|
|
|
judv |
= |
uv |
— |
J a da, |
|
|
(60) |
причем |
произвольная |
постоянная |
С, |
находившаяся , в |
левой |
части, |
рассматривается |
|
включенной |
в интеграл |
J v |
du. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
(60) |
и называется |
ф о р м у л о й |
и н т е г р и |
р о в а н и я по |
ч а с т я м . |
|
|
|
|
|
|
|
При помощи этой формулы интегрирование выраже |
ния |
udv — uv'dx |
приводится |
к |
интегрированию выра |
жения |
v du = |
vu' |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть, |
например, |
требуется |
|
найти |
интеграл |
jx |
cos x dx. |
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
и, |
dv = |
cos x |
dx, |
|
|
так |
что du = |
dx, |
v — |
sin x. |
|
|
|
|
|
|
Теперь по формуле |
(60) |
получаем |
|
|
J x cos x dx = x sin x — J" sin x dx = x sin x + cos x + С.
Таким образом, при помощи правила интегрирова ния по частям нам удалось интеграл от сложной подын
тегральной функции л: cos я свести к интегралу от |
про |
стой функции |
sinx. |
|
|
Для вычисления определенных интегралов также су-, |
ществует правило интегрирования по частям. |
|
Напомним, |
что |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
j f(x)dx = |
F(b)-F(a), |
|
|
|
а |
|
|
где |
F (х) — любая первообразная |
для f{x). Поэтому |
мо |
жем |
написать |
ь |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
jf(x)dx=[jf{x)dx]a. |
|
|
|
|
а |
|
|
Отсюда |
получаем |
|
|
|
j " |
udv = |
и dvja |
= uv — J и cf«Ja |
|
или |
|
|
|
|
|
J udv |
= [uv]ba |
— J vdu. |
(60*) |
|
a |
|
a |
|
Пусть требуется, например, вычислить интеграл
2л
J x cos Зл: dx.
О
Положим x = и, cos Зх dx = dv, откуда du = dx и v =
= ysin3.c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, по формуле |
(60*) |
получаем |
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
J |
x cos |
ЗЛ: dx = |
у - [х sin Зх]20л |
— g - |
J |
sin Зх dx = |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
= у- (2я sin 6я — 0 sin 0) + у |
[cos Зл:]2 я |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
у |
(cos 6я — |
cos |
0) = |
0. |
|
4. Рассмотрим функцию y = |
f (х), которая |
на |
отрезке |
[0, |
2я] |
определена следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
I 0 для |
О ^ д г ^ я , |
|
|
|
|
|
|
|
/ ( х ) — j |
х д л я |
л |
< x <^_2я. |
|
|
|
|
По |
условию І(х) = х для значений х > я |
и х ^ |
2я, |
причем |
/(л) = |
0; в то же время, |
когда |
х—*п, |
оставаясь |
больше |
я (как |
говорят, |
когда х |
стремится к |
я |
справа), |
то |
1іт/(л:) = я. |
Таким |
образом, |
при |
переходе |
через |
точку |
я функция |
f(x) |
изменяется |
«скачком» |
и |
благо |
даря этому имеет в этой точке разрыв. На рис. 119 изо бражен график нашей функции; стрелка в левом конце
отрезка, |
изображающего функцию |
f(x) |
при |
значениях |
я < x ^ |
2я, |
указывает, что |
точка, |
где |
находится конец |
стрелки, |
т. |
е. точка |
В(п;л), |
не принадлежит |
графику |
(ведь ((п) |
= |
0, а не |
п!). |
|
|
|
|
В интегральном исчислении мы имели дело исклю чительно с функциями непрерывными. Понятие опреде ленного интеграла распространяется и на некоторые случаи, когда на отрезке интегрирования функция имеет разрывы. Как это делается для функций, имеющих один или несколько скачкообразных разрывов, мы покажем на при мере рассматриваемой функции.
Разобьем отрезок [0,2л] на части [0, я] и [л, 2л] и положим по определению
|
J f (x) dx = |
J f {x) dx + |
J" x dx. |
Рис. 119. |
|
о |
о |
л |
|
|
Как видим, второй интеграл в правой части берется от
функции |
<р(х) = |
х, |
которая в левом конце отрезка |
[л,2л] имеет значение ф(я) = |
я, т. е. значение, |
равное |
пределу \imf(x) |
|
при |
условии, |
|
|
|
|
|
|
|
что |
x —> л |
х > я |
|
а не |
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
справа, |
|
|
|
|
|
|
|
/(л) = |
0; |
заметив, |
что на |
отрез |
|
|
|
|
|
|
|
ке |
[0, л] |
функция |
f(x) |
= |
0, |
по |
|
|
|
|
|
|
|
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
я |
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
f(x)dx= |
|
f 0-dx |
+ |
J* x dx. |
|
|
Рис. |
120. |
|
Ü |
|
|
O |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
J О • dx = С — постоянная |
(ибо |
С — 0), |
то |
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Л |
|
|
|
|
|
|
J 0 • dx = |
[С]* = С - |
С = |
0; далее |
\х |
dx= |
[ |
4 |
- ] |
Г = |
Т л *' |
Следовательно, |
|
2 я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введя |
функцию |
ц>(х)==х, |
мы |
заменяем |
функцию |
f(x) |
двумя |
непрерывными |
функциями: # = |
|
0 |
(на |
от |
резке |
[0, я]) |
и у = |
x |
(на |
отрезке [я, 2л]). |
|
|
|
|
|
Такое |
|
соглашение |
об |
определении |
|
интеграла |
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J f (x) dx |
|
вполне |
естественно |
и наглядно |
ç |
геометриче- |
ской точки зрения: введение функции ф ( х ) = х на от
резке [л, 2я] |
добавляет |
к графику |
функции |
y = |
f(x), |
отвечающему |
значениям |
я < х ^ 2 я , |
недостающую |
точ |
ку В (л; л); |
тогда интеграл ^f(x)dx |
будет |
опреде- |
о
лять площадь фигуры, составленной из отрезка OA и трапеции ABCD (рис. 120).
5.Приведем теперь два примера составления ряда
Фурье для заданной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР |
|
1. |
Составить |
ряд |
Фурье для |
функции, |
рассмотренной |
в |
предыдущем |
пункте, |
т. е. для |
функции |
/(х), |
заданной на отрезке [0,2я], |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
0 |
для |
0 ^ |
x <| |
п, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(X |
для |
п < |
x < |
2я. |
|
|
|
|
Вычисляем коэффициенты Фурье по формулам (58), |
(59): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Л |
|
|
г Я |
|
2Л |
|
|
|
|
T - i \ f ^ d |
x = i\J0'dx+ |
jxdx |
= |
|
|
|
|
|
о |
|
|
(о |
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Г * 2 1 2 Я |
1 |
(о 2 |
" M |
3 |
При |
л = 1 , 2, |
. . . |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п — |
J f (х) cos nx dx = |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
-1 оя |
|
|
2л |
|
\ |
2n |
|
|
|
|
|
j 0 • |
cos nx dx -f- |
j * x cos nx dx\ |
= -1 |
X COS ЯХ dx. |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
J. |
|
|
|
Интеграл |
|
J x cos nx dx |
вычисляем |
пр правилу |
интег- |
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
рирования по |
частям: |
|
du = |
dx, |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
и, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nx dx — |
dv, |
V |
sin nx. |
|
|
|
