Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

 

2я

 

 

X cos

пх dx — — \xs'miix]2Jt

n

J

s'mnxdx —

 

 

 

n

1

 

J n

 

 

 

=

4

(2я sin 2nn

— я sin nn)

+

-^- [cos я х ] 2 л

=

 

 

 

 

 

 

 

=

—

(cos 2nn

— cos nn)

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a„ =

—

2 ~ (cos 2яя — cos я/г).

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

(cos 2я — cos я) =

 

 

 

a2 ••

2 2 л

(cos 4я — cos 2я) =

О,

 

 

 

a3

1

 

(cos 6IÏ — cos Зл)

=

 

 

 

32 л

 

 

 

 

 

 

 

Вообще, если

n — четное

число,

то ап

=

0; если же

72 — нечетное,

n =

2k — 1 (/г =

1, 2,

. . . ) , то

 

 

а ' ^ - > =

(2ft -

і)2 я

f c o s 2 (2é — 1) л — cos (2k

—

1) я] =

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

(2ft—

і ) 2 я •

 

 

 

 

 

 

 

j

 

2л

 

Г

Я

2я

 

 

bn — —

j* f (x) sin nx dx = - i - j J* 0

• dx -j-

J

* sin л* a** j

 

о

 

(

o

n

 

 

I

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

== —

Г x sin

afx =

 

 

 

 

 

я

J

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

=

j — ~

[x cos n*]2* -f

Jcos/urrf.*:

 

 

 

 

V

 

 

я

 

 

 

 

= -^- j T- 4

(2я cos 2л/г — я cos лгі)

+ -^- [sin я*]2 я ]

= ,

 

 

 

 

— (2 cos 2яя — cos ля).

357"

Отсюда

 

 

 

 

 

Ь, =

— (2 cos 2я — cos я) — — 3,

b2 = — Y

(2 cos 4я — cos 2я) =

y

63 == — 4 -

( 2 c o s 6

л — cos Зя) = — 3

b4 = —

 

cos 8я — cos Ая) = — ~ ,

h=

— 4"(2 cos Юя — c o s 5 я ) = — 4".

*6 =

—

4(2 c o s

12я — соз6я) =

—4'

Вообще, если

 

п. —число нечетное,

n = 2k—\, то

g

 

 

 

п — число четное, n = 2k, то

b-2k-\ — — 2 k — 1 '

а

е с л и

Таким образом, ряд Фурье для рассматриваемой

функции имеет вид

 

 

-~ л + —• cos x — 3 sin x

Іг sin 2x + -rf— cos 3* —

4 я

—4 sin 3* —4

или

2 ' 3 2 я

s m 4x + -ф^ cos 5.v — g - sin Sx —

4~ sin 6.V + . . .

~6

is

, 2

/

. cos Зж

, cos б.<

 

, cos 7x .

\

 

 

+ —^COSA;+—

 

 

4~

 

4"...J —

 

 

 

35—+ — 5 Г - + - 7 3 — +

 

 

—

^ - j - sin x +4 s ' n 2*

+

 

 

sin 3-t +

sin 4*

- { -

 

 

 

 

+

3

 

1

 

\

 

 

 

 

-5-

sin bx -f- -g- sin 6* +

. . . j .

 

ПРИМЕР 2. Составить ряд Фурье для функции

f(x)

= x(0^x^2n).

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2я

 

 

 

 

 

 

 

 

=а$ХСІХг=п>

 

 

 

 

 

ар

 

 

 

 

 

 

 

358

 

2jt

 

 

 

 

a n z

= ' ^ J X COS ПХ

d-X-

 

 

 

 

1

(

 

2"

I

 

= — I —-[x s'mnx]2*

sin nx

dx

 

я

i n 1

J ° rt

J

j

=

-^- J* x sin Я Х dx =

+ -i- J coscos лхлх dxdx j1j =

 

 

I— -^- [x cos

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

— •— 2л cos 2лл

 

 

 

 

mi

 

 

> = 0»

2 n

Следовательно,

искомый ряд

таков:

 

 

 

 

 

 

 

n / sin x

,

sin 2х

,

sin

Зд:

. sin Ах

,

\

 

 

 

,«,ч

n - 2 ( - j — +

-

2 — +

— 3 - +

— 5 — +

. . . ) .

 

(61)

6. Положим

в

ряде

Фурье

(56)

функции

/(х) =

х

переменную х равной 0 и затем

2л. При

этих

значениях

x все члены ряда, стоящего в скобках, обращаются

в

нули, а потому

сумма

ряда

становится

равной

л. В

то

же время /(0) =

0, /(2л) =

2л.

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы видим, что при х =

0 и x = 2л

сумма

ряда

(61)

не совпадает со значениями функции

/(х) =

х.

Следо­

вательно, при х — 0 и x = 2л функция

f(x)

=

x

не

мо­

жет быть представлена

ее рядом

Фурье.

 

 

 

 

 

 

Существуют функции, для которых могут быть по­ строены их ряды Фурье, причем эти ряды оказываются расходящимися. В других случаях ряд Фурье, построен­ ный для данной функции f(x), оказывается сходящимся, но сумма его не во всех точках совпадает с функцией f(x).

Пока нами установлено

только, что

е с л и

функция

f(x) может быть разложена

на отрезке

[0,2л]

в триго­

нометрический ряд, то этот ряд есть ее ряд Фурье, т. е. коэффициенты этого ряда выражаются через данную функцию по формулам (58) и (59).

Понятно, что основная задача в теории тригономет­ рических рядов состоит в установлении тех условий, при выполнении которых данная функция является суммой

359

своего ряда Фурье. Этой задаче посвящено очень много исследований. Мы приведем здесь без доказательства теорему, представляющую собой один из простейших результатов, связанных с вопросом представления функ­ ции рядом Фурье. Однако даже этот простейший ре­

зультат

.дает

"широкие

возможности

применения

рядов

Фурье к исследованию явлении природы.

 

 

 

 

 

Т е о р е м а .

Пусть

 

функция

f(x)

 

непрерывна

на

от­

резке

[0,2л],

за

исключением,

быть

может,

конечного

числа

точек разрыва

скачкообразного

 

вида,

и

пусть

она

имеет

на отрезке

[0,2л]

только конечное

 

число

точек

экстремумов

 

(или

не

имеет точек

экстремумов

вовсе);

тогда

эта функция

имеет

свой

ряд

Фурье,

сумма

 

S(x)

которого

во

внутренних

точках

отрезка

[0, 2л]

совпадает

с }(х)

в

точках

непрерывности

функции

f(x),

а в

каж­

дой

точке

разрыва

 

принимает

значение,

 

равное

 

вели­

чине

ординаты

средней

точки скачка

функции;

в

концах

отрезка

значения

 

S(x)

одинаковы

и

равны

(в

предпо­

ложении

непрерывности

функции

f(x)

в

концах

отрез­

ка)

среднему

арифметическому

значений

 

функции

 

f(x)

при

x =

0 и при

x —

2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(0)

=

S(2n)

=

/ < ° > - Н < 2 * >

г

 

 

 

 

Функция І(х) = х непрерывна на отрезке [0,2л] и во­ все не имеет на нем экстремумов; значит, она удовле­ творяет условиям последней теоремы. Из этой теоремы вытекает, что сумма S(x) ряда Фурье (61) совпадает с функцией x в каждой внутренней точке [0,2я], т. е. в промежутке (0, 2я). Далее, согласно теореме

S(0) = S(2n)="0)+2f(2n) =Ц^==л;

выше мы нашли непосредственно из ряда Фурье функ­

ции І(х)

= х, что

значения его

суммы при

х =

0 и х =

= 2л одинаковы

и равны я.

 

 

 

Из

приведенной теоремы

следует,

что

функция

f(x) = x может быть разложена в ряд Фурье в проме­

жутке

(0,2л),

т.

 

е. для

значений

х,

удовлетворяющих

соотношениям

0 <

х < 2я,

имеет

 

место

равенство

 

х = л

0 / sin x

 

,

sin 2х

.

sin Зх

.

sin

Ах

.

\

. „ п .

— 2у—j

1

2 ~ +

 

—з

Ь — 4

 

h . - . ) -

(62)

В § 104 было указано, что сумма S(x) ряда Фурье данной функции f(x) есть функция периодическая.

360

Смотрите также файлы