Отсюда вытекает, что график суммы S(x) ряда (62) изо бразится совокупностью параллельных отрезков (рис. 121) и отдельных точек с координатами . . . . (—2я; я ) , (0; я ) , (2я; я ) , (4я; я ) , . . .
График функции f(x) = x вне отрезка [0,2я] изобра жен пунктирной линией; мы видим, что вне промежутка
(0,2я) функция f(x) = x ничего общего не имеет с сум мой S(x) своего ряда Фурье; это наглядно подтверж дает, как указывалось в § 104, что разложение неперио
дических функций |
в |
тригонометрический ряд |
имеет |
смысл искать лишь |
на |
отрезках |
(в промежутках), |
дли |
на которых равна 2я. |
|
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
для |
0 ^ х < я , |
|
|
|
x |
для |
я < |
x ^ 2я |
|
также удовлетворяет условиям приведенной выше тео
ремы. Значит, сумма |
S{x) ее |
ряда |
Фурье, |
найденного |
в примере 1 |
(п. 5), |
в промежутке |
(0,2я) |
совпадает с |
}(х) в точках |
непрерывности {(х); |
в |
точке |
х = я, где |
функция }(х) |
делает |
скачок, |
|
|
|
|
далее, |
S ( J 0 = - 2 — |
= т |
; |
|
|
|
5 (0) = |
5 (2я) = |
|
= |
я. |
|
§ 106. Функции, разлагающиеся в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам. 1. Рассмотрим на отрезке [0,2я] функцию, график которой симметричен относительно точки (я;0). Рисунок 122 дает изображе ние подобной функции.
Из геометрических соображений сразу вытекает, что
2л
j f { x ) d x B = Q |
*). |
и |
|
Покажем, что также и интеграл
2л
J / (х) cos nx dx — 0.
о
Это вытекает из того факта, что график функции f(x)cos пх также симметричен относительно точки (я, 0), т. е. что в точках отрезка [0, 2я], симметричных относи тельно точки (я;0), значения этой функции равны по абсолютной величине и имеют противоположные знаки.
|
|
Ч \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч ч X |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
\ ч |
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
; |
\ ^ |
|
|
|
|
|
3? |
|
а |
|
|
|
^ |
\ |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
ч \ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
N |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
ч |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
N |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ ч |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ч |
ч ! |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
122. |
|
|
|
|
|
Действительно, |
возьмем |
любую |
точку |
а на |
отрезке |
[0, л]. В |
этой |
точке |
функция |
f(x)cosnx |
имеет |
значение |
f(a)cosna. |
Возьмем, далее, |
точку |
х = 2л — а, |
симмет |
ричную точке а относительно середины |
отрезка [0,2л] |
(см. рис. 122). В силу симметрии |
графика |
функции |
f(x) относительно точки |
(л; 0) |
имеем |
|
|
|
далее |
|
f(2n-a) |
|
= |
|
-f{a); |
|
|
cos п (2л — |
а) = |
cos (2лп — |
па) — cos па; |
|
|
|
*) Ясно, что наличие на отрезке [0, 2л] конечного числа скачко образных разрывов не меняет дела.
следовательно,
f (2я — a) cos n (2я — a) — — f(a) cos na. |
|
Отсюда следует, что если на каком-нибудь |
участке |
отрезка [0, я] функция f(x)cosnx |
неотрицательна |
(непо |
ложительна), то на участке такой же длины, симмет
ричном относительно точки ( я ; 0 ) , функция |
f(x)cosnx |
неположительна (неотрицательна). Значит, каждой кри |
волинейной трапеции, расположенной выше (ниже) оси
абсцисс |
на |
участке отрезка |
[0, я], соответствует симмет |
ричная |
ей относительно точки (я; 0) |
трапеция на отрез |
ке [я, 2я], |
расположенная, |
наоборот, |
ниже (выше) оси |
Ох. Отсюда, непосредственно из геометрического смыс ла определенного интеграла как алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций, заключаем, что
2я
J |
/ (х) cos nxdx |
= 0. |
|
о |
|
|
|
Установим теперь, что |
|
|
2Я |
Я |
|
|
J" f (х) sin nx dx = 2 J / (x) sin nx dx. |
|
о |
0 |
|
|
Действительно, |
так как |
/(2я — а) = —f(a) |
и |
sin п(2я — а) — —sin па, то
/(2я — a) sin п (2я — а) = [— f (а)] (— sin па) — f (a) sin па.
Поэтому теперь каждой криволинейной трапеции на
каком-нибудь |
участке отрезка [0, я] будет |
отвечать та |
кая же трапеция на отрезке [я, 2я]. Отсюда |
и вытекает, |
что |
|
|
2я |
Я |
|
j f {х) sin nx dx = 2 j f (x) sin nx dx.
Из полученных результатов следует, что коэффи циенты а„ (л = 0, 1, 2, 3, ... ) ряда Фурье рассматри ваемой функции все равны нулю; действительно,
2я |
|
an = j{ J/(x)cosnxdx = Q. |
(А) |
о |
|
Коэффициенты же Ъп |
(п=\, |
2. ... ) _ ряда |
Фурье этой |
функции будут определяться |
формулой |
|
|
2л |
|
|
п |
|
|
Ъп — -j- Г / (.ѵ) sin пх dx = |
- | |
j f(x) sin nx |
dx. |
( B ) |
|
Таким образом, ряд Фурье функции, график которой |
симметричен относительно точки |
(я;0), имеет вид |
|
bi sin x + b2 |
sin 2x + |
b3 |
sin 3x + . . . |
|
|
2. Рассмотрим на отрезке [0,2я] функцию, симмет ричную относительно прямой х — я (рис.- 123).
-2я-
Рис. 123.
Для такой функции имеем
f{2n~a) = f(a).
Поэтому
/ (2я — a) cos я (2л — а) = /(a) cos ла,
и
f (2л — а) sin л (2л — а) = — f (a) sin па.
Следовательно, рассуждая как и в . предыдущем пункте, получаем
j " f {х) cos nxdx = 2 j f (x) cos лх dx
и
2я
J / (x) sin лх dx — 0.
Отсюда
2л |
|
л |
|
|
Й " = 1Г j f{x)cosnxdx |
=— |
/ (x) cosnxdx |
(п=0,1,2,...) |
2л |
|
|
|
|
6„ = -^- j " f U) sin nx dx |
= 0 |
( n — 1 , |
2, . . . ) . |
о |
|
|
|
|
Таким образом, функция, график которой симметричен
относительно |
прямой |
х — г., имеет |
ряд Фурье вида |
-у- + |
а1 cos x + |
а2 cos 2х -f- а3 |
cos Зх + . . . |
§ 107. Разложение в ряды Фурье некоторых, часто встречающихся в электротехнике функций*). Все функ ции, которые здесь рассматриваются, суть функции пе риодические с периодом 2я, поэтому каждую из них достаточно определить на отрезке [0,2л]; в остальных
точках |
они |
определяются |
при помощи |
соотношения |
j(x |
-f- 2л) = |
f (х), т. е. их |
графики представляют собой |
повторение графика на отрезке [0,2л]. |
|
|
1. Разложить в ряд Фурье функцию, |
изображенную |
на |
рис. |
124. |
|
|
|
Рис. 124.
Так как график данной функции симметричен отно сительно точки (я;0), то функция, разлагается в ряд только по синусам; следовательно, ап = 0 (n = 0, 1, 2, . . . ) и
л |
|
Ьп = — J" / (х) sin nx dx |
(n = 1, 2, 3, . . . ) . |
ü
*) Все функции, которые рассматриваются в этом параграфе, удовлетворяют условиям теоремы, приведенной в § 105 (п. 6).
