Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

f (х) sin nx

dx ••

u

_2_ I A_

x sin nx dx + A

j sin nx dx —

n I

a j

V

U

а

— -^- J* (x — я) sin nx dx I ,

я—а

'

2Л

, а

я—а

я

.

а л

I J x s i n n x d x + а

j *

sinnxdx— J (x—rc)sinnxdx|.

U

а

я - а

)

Интегрируя по частям,

находим

а

— - i - [x cos nx]" + -Д- [sin nx]" =

j " x sin nx dx =

1

I

1

•

Далее

=

— — • а • cos na +

-

j - sin па.

a

j

O r

Tit—a

sinnx dx=

[cos nxL

=

—

J* (х — я) sin пх dx =

(л — х) sin nxdx

= l.

я—а

я—а

Вычислим этот интеграл методом интегрирования по

частям;

положим

тогда"

л — х — и,

s'mnx dx =

dv;

du — — dx,

V =

n

cos пх

и,

следовательно,

/ = —- [(я — х) cos пх]* „ — -

я

cos пх dx —

Я

n — и

ц

j

я - а

=

— -

—[ а cos п (я — а)] —

[sin пх]"_а

=

=

-^- cos л (я — а) —

[sin «я — sin п (я — а)]

или, замечая,

что sin ля =

О,

1 = — £а cos ля cos ла + а sin ля sin па +

Ч —

sm ля cos ла

1

cos ля sin ла =

.

1

.

.

1

я

я

J

= — ^а cos ля cos ла — — cos ля sin ла).

Таким

образом,

2А

Г

а

1

а

cos ла cos ля +

Ь„ = —

cos ла Ч — г sin ла

"

а л

L

я

п1

я

1

•4- — cos ла + — cos ля cos ла

V cos ля sin яаі =

'

л

я

п1

J

;, s i n 5 aЛЯ)) .

6,==^•т оsinШ »a,,

„62 2 —= -0,, -6а

3 = ^ s i n w3»a,

2А

b—5 =2 55a ^h

,„ 464

=„ ,0,„ 5

Отсюда

—

sin

ла (1 — cos

4Л

^6 = 0,

Ь7 = -49ал7к—

sin 7а,

Следовательно,

f (x) = — - jsin a sin x +

sin 3a sin ЗА; - f

sin 5a sin 5x +•

+

sin7asin7Л; +

• • • ] •

(63)

Так как рассматриваемая

функция

f(x)

непрерывна

на отрезке ТО, 2л], то сумма

S (А-) ее ряда Фурье совпа­

дает

с {(х)

во всех

внутренних точках

этого

отрезка.

Заметив далее, что на концах отрезка

[0, 2л] значения

функции /(А) равны:

/.(0) = /(2л) =

0,

и

что

сумма

S(x)

ее ряда

Фурье

в концах

отрезка

[0,2л]

равна

сред-

нему

арифметическому

2 — - = 0 ,

заключаем, что

Рис.

125.

В частности, при a =

- j

имеем

sina =

\гъ

Ѵз

Ѵз~

—, . . .

- £ - , sin 3a = 0, sin 5a =

g—•

sin7a =

-2

Следовательно, в этом

случае

разложение

(63) при­

нимает

вид: _

, , х

fi

Ѵз А (

..

1

. к

,

1 .

„

\

/ w

=

— ~ і

—

1 sin x —

sin

5A

+

sin 7A —

. . . 1.

При

a = Y

трапеция

вырождается

в треугольник

2А

для

0

x

^

2А ,

.

п

-

•

(64)

(А

я) ДЛЯ

- г

^ А ^

Я.

Воспользовавшись разложением

(63) и полагая в нем

а = у , приходим к следующему разложению

функции,

Î (х)

(sin x

— -j

sin ЗА: +

-^- sin 5А —

sin 7А +

. . .

j .

- T V

3

*

Рис.

126.

цию,

заданную

следующим

образом:

,

A sin А

для

0 С х < я ,

О

дл я

л ^ x ^

2л

(рис.

126). Имеем

2л

, я

2я

2

О

Ü

я

»

г

і Л

Л

= - т г — [ — C O S X J , = —

,

2я

1

J J

я

2л

я

2я

s

« 1

•^- J

f (A) cos A dx =

~ r j

j" Л sin A COS A C?A + J 0 • dx \

=

U

1

и

Я

'

я

=

- ^ - j "

sin 2A dA = -

- ^ - [cos 2A]" =

0.

Для

к = 2,

3, . . .

находим

2л

,

л

0 ) i =

-i-j*/(.ç) cos tix dx = ~^\ ^A sin x cosnx

dx-{- j0-dx \

=

u

я

*o

.

я

1

= - 2 i r { [ s i n ( r t +

l ) j f - s i n ( n -

l)x]dx

=

0

A

2n