Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Отсюда

а2 = -^{-4( с о8 3 я - l ) + ( c o s j t - ] ) } =

а 3 - = - А | _ 4 ( С о з 4 л - - 1 ) + a . = - ^ - { - - g - ( c o s 5 n - l) +

fl5 = 0

2л I 3

- і ( С 0 5 2 1 1 -

y ( c o s 3 n - = - А . [ ~ _

2Л * ] — Зл '

1)} = 0, 1)} =

і Л — _ __d_

2 я V 5

3 j

15я »

û 6 =

lH~~T

( c o s 7 l t

-

О +

у С с о з б л - І ) } ^ -

2/1

 

 

 

35я

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

2я

 

 

 

 

 

- я

 

 

2л

ч

 

4 \

Hx)sinxdx=~

 

J 4sin2 ;crf*

+ JVrf*

=

 

 

о

 

 

 

 

 

 

I. О

 

 

Я

'

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4с

 

I <!

- c

o s

2 * > ^ = • £ • { w ô - \

 

} = 4 •

 

 

 

Ü

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

л =

2,

3, . . .

получаем

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

=

 

 

{ ТГ^Т t s i n

(" -

!) <

-

7ГТТ [sin (л +

1) хГ0 } = 0.

Следовательно, искомое разложение имеет вид:

 

11 \

 

А

,

А .

 

2А

п

 

2/4

.

 

=

/ {x) =

——!—g" sin x — g^ - cos 2х — "jg^ cos 4* — . . .

 

J_j_ /J_

_[_ J L

•

 

cos 2дс

cos Ax

cos бд;

\

 

 

я І 2 +

 

 

S I N J T

 

3

 

15

35

— • ' • ) '

3.

Разложить в ряд Фурье функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

f(x)

= А\ sin* I

 

 

 

(рис. 127). Так как эта

функция симметрична

относи­

тельно

прямой

х — п,

то она

разлагается в ряд

только

370

по

к о с и н у с а м ,

причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

а„ =

2

Г

/ (JC) cos пх

dx

=

2А

Г

sin x cos

nx dx.

 

 

—

J

—

 

J

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Следовательно,

коэффициенты

a0,

fli,

аг, . . .

вычисляют­

ся

так

же, как

и в предыдущем

примере,

и

отличаются

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- - V-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

. "

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-тс

 

 

О

 

 

п

 

 

 

2к

 

Зл

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.

127.

 

 

 

 

 

 

от

них

лишь

множителем

2,

а

коэффициент

Ъ\ = 0.

Та­

ким образом,

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AI

sin x

I =

- ^ - ( 1 — - j cos

2л:— y| cos

4Л:— J: cos 6x —

... j .

 

4. Разложим в ряд Фурье функцию, заданную на от­

резке [0,2л] следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

/(*) = {

 

А

для

0 ^

x ^

л,

 

 

 

 

 

 

Л

для

л <

x ^

2л

 

^

 

(рис. 128). Эта функция симметрична

относительно

точки

(л; 0)

(при

этом, в

соответствии со

сказанным в

I

 

 

i

"

TZ7r~

i

 

Рис. 128.

§ 108, п. 4, точке (л; А) мы ставим в соответствие сим­ метричную ей точку ( л ; — А ) ) . Следовательно, данная функция разлагается в ряд Фурье только по синусам. Вычисляем коэффициенты Ьп ряда Фурье по формуле

371

372

(В), приведенной в § 105:

л

я

Sin «А dx = — I sin nx dx

о

о

•ІЛ г

i n

=[cos nxl.

Отсюда

находим

mi 1

Jo

 

 

 

 

 

 

0,

ô3

АА

 

 

Зл '

 

 

 

 

 

 

АА

 

 

 

 

5л '

 

 

Таким

образом,

 

 

 

Рис. 129 изображает график данной функции

f(x)

для случая А — л/4 и графики последовательных

ча­

стичных сумм ее ряда Фурье. На всех рисунках изобра­ жена исходная функция; верхний рисунок изображает, кроме того, частичную сумму Si(x) = sinx. На втором рисунке дается изображение (пунктирными линиями)

кривых

у — sin x, у = - j sin Зх и график

частичной

сум­

мы S2(x)

= sin x + -j sin Зх (сплошной

линией),

полу­

чающейся в результате сложения двух простейших пе­ риодических функций sin x и sin Зх. Третий рисунок

дает изображение кривой S2 (х) = sin х + у sin Зх (теперь

она нарисована пунктирной линией), кривой у = -|-sin5х

(пунктир) и частичной суммы 5 3 (х) = S2 (х) + у sin 5х =

==sinx + -|-sin3x-f--|-sin5x, и т. д.

На рисунке видно, как периодическая функция, сама не являющаяся простейшей периодической функцией, все точней и точней изображается суммами простейших периодических функций, как это указывалось в § 104,

3 7 3

У П Р А Ж Н Е Н И Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К § 93.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

помощи

 

признака сравнения рядов установить сходимость

или расходимость

нижеследующих

рядов:

 

 

 

 

 

 

 

U

]

+

 

J+

JTs

+

 

3 ^ 7 + 3 - 5 % . 9 +

—

Отв. Сходится.

 

 

3

 

 

4

,

5 .

 

6

,

 

,

 

 

п+2

 

,

 

 

 

 

 

 

2 -

 

¥

+

F 2

+

4^3 +

 

5 l +

-- - +

 

Тп-+Тй+

 

* ' "

 

•

Р а С Х 0 А , 1 т с я -

3 -

1

+

у г +

 

• р " +

 

• • • +

(2я — I ) 2

+

• • •

 

0 /

/ г ѳ -

Сходится.

4 *

1

^

 

I f ^

ТО

Î7

 

' • '

^

п2

+

1

 

' ' '

О / " 0 '

Сходится.

Б -

 

1гГ2+

1г7з+

] г 7 4 + - - - +

ш Т ^

 

 

 

О т в . Расходится.

Исследовать

по признаку

Дала.мбера

сходимость

рядов:

«

 

1

 

 

i

1

 

i

 

1

i

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . 1 ^ 23 <3

 

2 5 - 5 +

 

 

 

+

2 2 r , - !

{ 2 « - 1) +

—

 

 

1 Ч-5-gj-, +52y ,+

 

• ,• •Б""H 1—

 

 

 

 

 

Ошв.

Сходится.

7-

 

 

 

 

 

H

• • •

 

Or

8-

 

1

^ +

2 Ъ +

3 ^ + - - - + л Т І + Г ) + - ' -

 

Orne. Расходится.

9 -

у

+

"3 Т' + "зТ +

 

•••

+

у

г

 

+

•••

 

0

ш

в -

Сходится.

10.

 

 

1

Ч

22

 

З 2

 

4

2

Ч — г -

пг

 

... Ч — — т - Ч-

 

... Отв. Схо

 

 

3

 

3

 

1—с-

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3J

оЗ

 

 

 

3""'

 

 

 

ort —1

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

о2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-3

 

 

?-Ь

 

 

2?-7

 

 

 

 

 

2 " - 1

{2п~

1)

 

К §§ 94 н 95.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О/;; е.

Расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установить, какие из нижеследующих

 

рядов сходятся

абсолютно

в какие

 

сходятся

неабсолютно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

1 — •р- Ч- -р-

— Jï

+ ^ ï ~

 

 

•••

0

т ѳ -

Сходится

абсолютно.

13. - ^ — Y ' ¥ +

T " ¥ ~ ~ Т * 2 ^ " * *

" *

° т в '

С х о д и т с я

 

абсолютно.

14.

-гКг

 

г—

+ -г—.

. . .

 

 

Отв. Сходится

неабсолютно.

 

 

In

2

 

In 3

 

 

In 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i g ,

—14- -1

 

 

4 Ч — 7 = —

 

 

• • «

Отв. Сходится

неабсолютно.

 

 

sin

 

У 2

 

У З

У 4

 

,

 

 

 

 

 

/~

 

 

 

,

 

 

а .

sin 2а

 

.

sin

За

H

• • • 0 т

в -

 

 

 

16. ^-7—

Ч

 

л

 

1

о

 

 

Сходится

абсолютно.

374

17.

1 — 5"+"? —4 ~ + 4— •*• Отв.

Сходится

иеабсолсотно.

18.

— +

—

••• Отв.

Сходится

абсолютно.

К § 97.

Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяс­ нить попрос об их сходимости на концах промежутков сходимости:

 

 

 

„3

 

5

 

 

 

 

2 л - I

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

Я

+ 4 - + 4 - + ...

 

2

Х

л - 1

 

'

Отв.

-

К

x <

L

 

 

 

 

 

 

 

 

3

'

5

' *

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

X

х^

 

х^

 

+

 

 

 

 

Отв.

-

1 <

х

<

1.

2 0

-

"22"

+ "4~Г +

~QT +

• • •

 

 

 

 

 

2

Ь

Т Т 2 " + 3-4 +

5-6 +

 

•••

 

 

Отв.

— 1 <

Х

<

!.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отв.

-

2 <

x < 2.

 

 

 

X

 

 

Х^

 

х^

 

 

 

 

Отв.

-

3 < х

<

3.

 

 

 

T T+

з 2 -з +

з з - 4 + • • •

 

2 3 , 1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

х

л.

* 2

 

 

 

x 3

 

 

Отв.

— 5 <

x <

5.

К

§§ 99, 100 и 101.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя разложения

в ряд Маклорена

функций ег,

sin z, cos z,

In ( 1 +

z) и (1 + z ) a ,

разложить в степенные

ряды функции:

 

 

 

25.

е2х.

 

26. е - * ' .

 

 

27. у =

s

i n

2 8 .

f/ = cos2 x.

 

о - ; ч ^ й - + • • • + < - ' > - + ' • ] •

 

 

 

 

1 + х

У к а з а н и е . Воспользоваться

формулой in

= In ( 14- x) —

In ( 1 - х ) и образовать искомый

ряд почленным

вычитанием ря­

дов функций

In ( 1 + х)

и In ( 1 — х).

 

 

рх -4- е~х

X 2

,

Х 2 П — 2

 

3 1 - e " Y

• 0 т в - 1 + 1 Г +

- + ( 2 « - 2 ) !

-

К §§ 104 и 105.

 

 

 

 

Разложить в ряды Фурье функции (на отрезке [0, 2л] ):

„„

£ / \

(—х для 0 < х < я,

[ 0 для 0 < х < л ,

 

 

I 0 д л я л < х < 2 я .

Ч х 2 д л я я < х < 2 я .

33.

f (x) =

x 2 .

 

Смотрите также файлы