Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

ГЛАВА ХП

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 108. Примеры задач, приводящих к дифференциаль­ ным уравнениям. Основные понятия и определения*). 1. Найдем уравнение кривой, обладающей тем свой­ ством, что угловой коэффициент касательной в ее лю­ бой точке М(х, у) равен удвоенной абсциссе.

относящихся к теории дифференциальных уравнений — мы будем обосновывать ее решение с точки зрения, от­ личной от той, какая была использована в § 79.

Из условия задачи следует, что угловой коэффициент касательной в точке M(х,у) кривой равен 2х. С другой стороны — угловой коэффициент касательной есть про­ изводная ординаты у точки M по абсциссе х. Таким образом, получаем равенство

376

дифференциальными уравнениями. В отличие от алгеб­ раических уравнений, корнями которых являются числа,

циальному уравнению, т. е. такая функция, которая,

мы можем рассматривать равенство (2) как тождество;

личным значениям С (рис. 130). Кривые этого семей­

следующими двумя свойствами: 1) угловой коэффи­ циент касательной в любой точке М(х;у) кривой равен

2) кривая проходит через точку М 0 (3;4),

377

Р е ш е н и е . Условие (I) приводит к дифференциаль­ ному уравнению

нам остается найти уравнение той из этих кривых, ко­ торая проходит через точку (3;4). Такая окружность будет иметь определенный радиус, который мы опреде­ лим из (5), полагая х = 3 и у = 4. Таким образом, по­ лучим

, 32 + 42 = С,

т. е. С = 25, и искомая кривая определится уравнением

х2 + у2 = 25.

3 7 8

3. Обратимся теперь к рассмотрению основных по­ нятий и определений, связанных с теорией дифферен­

наивысший порядок производной (дифференциала), со­

Как уравнение (8), так и уравнение (9) содержат про­

ние семейства функций, зависящих от стольких пара­ метров Си С2, . . . . каков порядок уравнения. При этом

3 7 9