Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Так, соотношение (8) есть общее решение диффе­ ренциального уравнения (2), а соотношение (9) — об­ щий интеграл дифференциального уравнения (3).

Нетрудно убедиться, что общее решение уравнения второго порядка (7) имеет вид

То решение, которое получается из общего при опре­ деленных численных значениях произвольных постоян­ ных, называется частным решением.

Аналогично определяется частный интеграл диффе­ ренциального уравнения. Решение задачи (2) свелось к нахождению частного интеграла х2 + у2 — 25 уравне­ ния (3).

Графики общего решения (или интеграла) назы­ ваются интегральными кривыми данного дифферен­ циального уравнения.

Как правило, через точку плоскости проходит толь­ ко одна интегральная кривая дифференциального урав­ нения первого порядка. Поэтому для нахождения нуж­ ного частного решения (или интеграла) дифференци­ ального уравнения первого порядка необходимо иметь заданными значение х0 аргумента х и соответствующее ему значение у0 функции у. Эти значения называют начальным условием дифференциального уравнения. Начальное условие будем записывать так:

У M = Уо *)•

Значит, начальное условие задачи (2) запишется равен­ ством

У(3)==4.

Как мы видели, в процессе решения задачи п. 2 этого параграфа при помощи начального условия опре­

380

Для уравнений второго порядка дело обстоит сложнее, так как через точку плоскости проходит не одна инте­ гральная кривая уравнения, а пучок кривых. Убедимся в этом на примере уравнения

чтобы кривая семейства (10) проходила через точку Mo, нужно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли уравнению (10). Подставив в это уравнение коорди­ наты ^у-; 0J, получаем

Приписывая постоянной Cj различные значения, получим сколько угодно кривых (пучок кривых) семейства (10), проходящих через точку Мй. (На рис. 132 изображены кривые семейства, проходящие через точку М0 при зна­

чтобы было задано значение производной от функции

семейства (10)

у — — -g cos x.

3 8 1

Значит, чтобы из семейства интегральных кривых дифференциального уравнения второго порядка выде­ лить одну определенную кривую, недостаточно указать точку М0 (лѵ, г/о), через которую должна проходить эта кривая, а необходимо еще указать направление, в кото­ ром кривая проходит через точку Mo, т. е. задать зна­ чение углового коэффициента касательной к кривой в этой точке.

Рис. 132.

Иными словами, для нахождения требуемого задачей частного решения уравнения второго порядка нужно иметь не одно, а два начальных условия:

У(хо) = Уо и 0'(*о) = Уо'

Эти условия дают возможность определить соответ­ ствующие значения постоянных С\ и С2 .

Пусть, например, требуется найти частное решение уравнения у" + у = 0, отвечающее следующим началь­ ным условиям:

* ( * ) - * • * ' ( т Н -

382

Общим решением этого уравнения, как мы видели, служит соотношение

Подставляя в (10) вместо х число —, вместо у число 2, а в (11), соответственно, числа | и 1, получаем сле­ дующую систему уравнений с неизвестными С\ и С2 :

Теперь получаем искомое частное решение уравнения (7):

с массой т, брошенной вертикально вверх с начальной скоростью ѵ0 (сопротивлением воздуха для простоты пренебрегаем).

Р е ш е н и е . Обозначим путь, проходимый точкой за время t, через s. Прямую (вертикальную), которая яв­ ляется траекторией движущейся точки, примем за ось Os и направление снизу вверх примем за положительное

ms" = — mg,

383

ѵ0; значит, искомая функция должна удовлетворять сле­ дующим начальным условиям:

Постоянную Ca определяем, используя первое из на­ чальных условий. Положив в (14) t = 0, s = 0, нахо­ дим

С2 = 0.

Следовательно, закон движения точки определяется

384

Полученное уравнение (15) дает возможность опре­

Положив теперь в (15)/ = -^-, находим высоту подъема

° ~ 2 S •

5. Уже рассмотренные выше задачи убеждают, что имеются вопросы, решение которых вызывает необхо­ димость рассмотрения дифференциальных уравнений. Оказывается, что дифференциальные уравнения играют огромную роль в самых разнообразных областях науки и техники, исследуемых при помощи математики.

Внастоящей главе будут рассмотрены способы ре­ шений некоторых видов дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающихся в приложениях мате­ матики.

Вдальнейшем под выражением «решить дифферен­ циальное уравнение» пли «проинтегрировать дифферен­ циальное уравнение» будем подразумевать нахождение

общего решения (общего интеграла) дифференциаль­ ного уравнения.

§109. Дифференциальные уравнения первого порядка

ипервой степени. Уравнения с разделяющимися перемен­ ными, однородные и линейные. Степенью дифференци­ ального уравнения первого порядка называется степень содержащейся в нем производной (дифференциала) .

функции у переменной к. Выразив производную у' че­ рез дифференциалы [уг — "jf") • всякое такое уравне­ ние можно после элементарных преобразований пред­ ставить в виде