Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

Скачать файл (12,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть, например, дано						уравнение
		(x + у)-g--					У-ѴхчТ2-
Его можно переписать так:
		(х + у)^-{у				+ Ѵ*т+7) = о.
Умножив 2.се члены этого уравнения на									dx,	приводим
его к виду		(16) :
		(x +	y\dy	-	(// + \fxT+li)			dx =	0.
1. У р а в н е н и я с р а з д е л я ю щ и м и с я										п е р е
м е н и ы м и. Если Р есть						функция		одной	переменной		у
(т. е. P =		f(y)),	a	Q — функция				одной	переменной		х
(т. е. Q =		g(x)),	то уравнение				(16)	имеет вид
			f(y)dy		+	g(x)dx =		0.		(17)
Уравнение вида				(17)		называют		уравнением		с разде
ленными		переменными				(слагаемое f(y)dy				содержит
только	одну переменную					у, а	слагаемое		g(x)dx	— толь
ко одну	переменную л-).					под у
Будем		подразумевать					функцию,		удовлетворяю

щую уравнению (17). Тогда равенство (17) или равен

ство
f(y)dy = -g(x)dx	(17*)

следует рассматривать как тождество и, следовательно,

его можно	почленно	интегрировать.
Пусть	$f(y) dy = F(y) + Cl и				J" g {x) dx =	G (x) + C2
(Су и C2— произвольные			постоянные). Таким			образом,
интегрируя почленно равенство (17*), получаем
	\НУ)	dy =		-\g(x)	dx,
или	F(y)-r-Ci		=	-G(x)	+ C2,
или
	F(y)	+ G(x) =			C2-Cu

или, наконец,
		F(y)	+ G(x) = C			(18)

386

(так	как		разность	С2 — Cj	произвольных		постоянных
можно представить				в виде одной произвольной постоян
ной	С).
Мы получили равенство (18), связывающее перемен
ные x, у		и содержащее одну			произвольную		постоянную;
т. е. мы		получили		общий интеграл		дифференциального
уравнения			(17).
Общий			интеграл	уравнения (17)		записывают также
в виде
			\f(y)dy+lg(x)dx=C.				(18*)

П Р И М Е Р 1. Решить уравнение

	у2 dy	+ x dx =	0.
Р е ш е н и е .	Путем интегрирования		получаем
	\ifdy+\xdx		=	C
или	f/3	Ï 2

Мы нашли общий интеграл данного			уравнения. Решив получен
ное соотношение	относительно	у, получаем		его общее решение

, - і Г » ( с - 4 ) .

Дифференциальное уравнение первого порядка и первой степени, приводящееся при помощи тождествен ных преобразований к виду

f i M g , (у) dy + h (x) go (y) dx = 0,			(19)
называется	уравнением с	разделяющимися	перемен
ными. Такое	наименование	вызвано тем, что это урав

нение легко приводится к уравнению с разделенными переменными. Действительно, разделив почленно урав нение (19) на произведение £ і(г/)Ых), приходим к урав нению

		gi (у)	а	h M
			а
Отношение		^ ^ \| есть функция одной переменной у ,
а отношение	- Щ ^ —			функция одной переменной х. Сле-
	/1	к*)

довательно, мы получили уравнение с разделенными переменными.

13*

337

с противоположным знаком; таким образом, скорость охлаждения dT

тела определится как —

388

Каким образом уравнение первого порядка приво дится к уравнению с разделяющимися переменными, показано на следующем примере.

П Р И М Е Р 2. Проинтегрировать уравнение

(1 -

Р е ш е н и е .

— .Y2 ) dy

4- ху dx — ах

dx,

х(у-а)

(1 -

A-2 ) dy

Мы

получили

уравнение

вида

(19).

Разделяем

переменные:

xdx

1 -

+ у

- а

Далее,

•dy'

— г

°'

- -г In I 1 - x21 + In I у - а I = С.

Для придания более простого вида полученному результату

представим

С в виде 1п|с|. Получим

l - . v - J | + l n | # - f l | =

l n | c |

или,

потенцируя,

І У - Д І

- — In I с I.

У-a

У = û + С У I 1 — A'L' I

In У 11 - x2

У Li - x2

= С,

Мы нашли

общее решение данного уравнения.

П Р И М Е Р

Скорость охлаждения

тела

в воздухе пропорцио

нальна разности между температурой тела и

температурой

воздуха.

Температура

воздуха

равна

20°С.

Известно,

чго в

течение

мин

тело

охлаждается

от

100°

до

60°. В'

течение

какого

времени

тело

охладится

до температуры 30°?

Р е ш е н и е .

Обозначим

температуру тела через Т. Скорость

изменения

температуры Т

тела

течением

времени

t есть

произ-

à,T

водная -л-

(§

40).

При

уменьшении

температуры

производная

dT
-£т- как производная убывающей функции есть величина неполо
жительная	(см. § 60). Но так	как	в	задаче идет речь о			скорости
изменения	температуры при	о х л а ж д е н и и			тела,	то	скорость
именно э т о г о физического		процесса		следует	рассматривать как
						dT
величину	неотрицательную, т,	е.	как	производную		-jr-,	взятую

С другой стороны, на основании

закона

охлаждения,

указан

ного

задаче, скорость охлаждения

определяется выражением

(Т

20),

где k — коэффициент

пропорциональности

0).

Приравнивая два выражения, определяющих скорость охлажде

ния тела,

приходим

к дифференциальному

уравнению

(ІТ

k{T-2Q).

Переписав

его

в виде

- k d t

7 - 2 0

и интегрируя

почленно, получаем

Іп (Т — 20) =

— kt

(здесь

Т — 20 >

0 и поэтому под знаком

In нет

необходимости

брать

модуль

этой разности).

На

основании

определения

логарифма

полученное равенство

можем

переписать

так:

или

Г - 2 0 = е - * ' + с

T -2Q

e~kt-eG.

Положив

е с

с,

получим

20 =

се~и.

найденном

решении

значения

величин с и k еще неизвестны.

Для

определения

заметим,

что

при

t — 0

температура

тела

равна 1003. Подставляя эти значения в найденное общее решение

уравнения, получаем: 80 =				се°, откуда				с =	80.
Следовательно, имеем
				Т -	20 =		8 0 е ~ " .				(А)
Остается			определить	значение			А. Нам		известно,		что в течение
20 мин	тело		охлаждается	до	60°,		т. е. что		при t — 20 температура
Т = 60. Таким образом, приходим							к соотношению
				40 =			80е~ш,
откуда	и	можем определить			k.	Но	вместо		этого мы		определим зна-
											I
	_ ь		_20ft		40		1	_k	(I	\ 2U
чение е	я ;	находим: е »		=	—	=	—	п е	— hj	I	•