Чтобы ответить на вопрос, поставленный в задаче, надо, поль зуясь этой зависимостью, определить значение / при Т = 30. Поло жив в равенстве (Б) Г ==_ 30, получим
t
|
|
|
|
|
10 |
= |
8 0 ( і ) 2 0 , |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
/ |
1 \~äö~ |
I |
/ |
1 |
\з |
следовательно, |
= |
3 и / = |
60. |
откуда l-g J = |
l f |
\ 2 |
/ |
' |
-щ |
Итак, |
тело |
охладится |
до |
температуры |
30° |
в |
течение |
часа. |
П Р І І М Е Р - |
4 . |
Имеется |
0,1 м' рассола, |
содержащего |
10 кг рас |
творенной соли. В резервуар, в котором помещается раствор, втекает
вода |
со скоростью 0,05 • І0~3 м3 /с, и смесь вытекает из |
него с такой |
же |
скоростью, причем концентрация поддерживается |
равномерной |
посредством помешивания смеси. Сколько соли будет содержать рас
сол по истечении |
часа? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Пусть количество |
соли, |
находящееся |
в |
резервуаре |
в момент времени і после начала |
опыта, |
равно |
к. |
Тогда |
концентра |
ция с раствора в этот момент |
будет составлять |
|
|
|
|
|
|
|
с <= -—- кг |
на |
1 м3 . |
|
|
|
|
|
Если |
скорость и з м е н е н и я |
количества соли |
в резервуаре |
в мо |
мент времени / определяется |
производной |
— f j - , |
то скорость у м е и ь - |
ш е в в я количества выразится величиной |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, так как рассол из резервуара |
вытекает со |
скоростью 0,05-10~3 м3 /с, то та |
же |
скорость уменьшения |
количества |
соли составляет |
0,05- Ю~3-~ |
= 0 , 5 ' 10 - 3 x . |
|
|
|
|
|
Таким образом, приходим |
к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
- ^ - - 0 , 5 - Ю~3х, |
|
|
|
|
|
пли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— = - 0 , 5 - H T 3 d f . |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим |
общий |
интеграл этого |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
I n * = - 0 , 5 - \ 0 ~ s - t + C. |
|
|
|
|
|
Так |
как при / <= 0 количество |
соли |
в растворе |
составляет |
10 кг, |
то, полагая в найденном решении |
х = |
10 и / = . 0 , находим |
значе |
ние С: |
|
|
С = In 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, количество соли, содержащейся в растворе |
в мо |
мент времени і, определяется |
из |
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
In л => - |
0,5- lQ~3t + |
In 10. |
|
|
|
|
|
Положив |
здесь t = 3600 с, |
получаем |
|
|
или |
|
In x = - 0 , 5 - |
10~3 -3600-f |
In 10, |
|
|
In х = — 1,8 + Іп 10. |
|
|
|
|
Пользуясь таблицей натуральных логарифмов, находим количе |
ство соли |
в |
рассоле по истечении |
часа после начала |
опыта: |
|
|
|
x = |
1,653 кг. |
|
|
2. О д н о р о д н о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в |
н е н и е . |
Рассмотрим |
поясняющий |
пример. |
Пусть дано |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos Л- dy |
+ [х - |
у cos |
dx = 0. |
(20) |
Разделить переменные в этом уравнении не представ ляется возможным. Особенность этого уравнения, как мы сейчас увидим, состоит в том, что замена в функ циях
|
|
Р (х, у) = |
X cos J |
H |
Q (Jf, y) = |
x — y cos |
I - |
переменных x и y соответственно |
на |
tx и ty оставляет |
это |
уравнение |
неизменным. |
Действительно, |
произведя |
такую |
замену, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
ix cos-j^ |
dy -f- [tx — ty cos -j^j dx = |
0, |
|
|
|
/ j x cos ~ |
dy + [x — |
у cos |
|
d.vj = |
0 |
|
и, |
по |
сокращении |
на |
t, |
приходим |
к |
исходному |
уравне |
нию (20). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное |
уравнение |
вида |
|
|
|
|
Р (х, У) dy + Q {x, у) dx = 0, |
|
(16) |
обладающее указанным выше свойством, называется од нородным.
Таким |
образом, |
для проверки, |
является |
ли уравне |
ние |
(16) |
однородным, |
нужно |
в |
функциях |
Р{х,у) |
и |
Q(x, |
у) переменную |
х |
заменить |
на |
tx, переменную |
у—• |
на ty, и если после элементарных тождественных пре образований мы вернемся к исходному уравнению (16),
то данное уравнение —однородное. |
|
Оказывается, если искомую функцию у |
представить |
в виде |
|
У = их, |
(21) |
где и — новая неизвестная функция, то однородное уравнение приводится к уравнению (относительно не известной функции и) с разделяющимися переменными.
Решив это новое уравнение и заменяя и на — (см.
|
( 2 1 ) ) , |
мы |
получим |
общий |
интеграл |
(или |
общее реше |
|
ние) исходного однородного |
уравнения. |
|
|
|
П Р И М Е Р |
5. |
Проинтегрировать |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
_ |
.V |
cos -^- dy - f ^.v — y cos |
— |
|
|
dx |
= 0. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
Положим |
(пли, |
как |
говорят, |
сделаем |
подстановку) |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
У — |
их. |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
и dx |
+ |
.V |
du, |
|
|
|
|
|
v. данное уравнение |
обращается |
в уравнение |
|
|
|
|
|
или |
|
.Y |
cos |
и {и dx |
+ |
x du) |
-\- [х — их |
cos |
и) dx = |
0, |
|
x [и cos |
и dx + |
x cos и du |
+ |
dx |
— и cos н dx] |
= 0; |
|
|
|
сократив обе части уравнения на |
.ѵ |
и сделав |
приведение подобных |
|
членов, |
получаем |
уравнение" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л* cos и du |
-f- dx |
= |
|
0. |
|
|
|
|
Разделяем |
переменные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
и du -\ |
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
j* cos |
|
|
+ J* ~ |
= с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и du |
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
sin и + |
In |
I |
x [ = |
|
с |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In es i n " -f In I x I = In I С I, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xeiln |
|
" = |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя |
и |
на — , |
находим |
общий |
интеграл данного |
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дге |
|
х |
= |
С. |
|
|
|
|
|
|
(22) |
|
Найдем еще частный интеграл данного уравнения, удовлетво |
|
ряющий |
следующему начальному |
условию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ( 1 ) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив в (22) x = |
1, у — 0, |
находим значение |
|
постоянной С, |
|
отвечающее |
начальному |
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е°=С, |
|
|
|
С = 1 . |
|
|
|
|
|
Следовательно, искомый частный интеграл таков:
s i n - у
1.
П Р И М Е Р 6. Найти форму прожектора, отражающего лучи,
исходящие из точечного источника • света О, |
параллельно |
данному |
направлению. |
|
|
Р е ш е н и е . Из соображений симметрии |
следует, что |
форма |
прожектора представляет собой поверхность вращения некоторой
кривой |
вокруг |
своей |
осп |
|
симметрии (рис. 133). Следовательно, за |
дача сводится к нахождению уравнения кривой. |
|
|
|
|
|
За ось |
Ох |
примем |
ось |
вращения, |
за положительное |
направление |
на |
ней — направление |
отраженных лучей; начало координат совме |
щаем |
с источником |
света |
О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
М(х, |
у) |
— произвольная |
точка |
искомой |
кривой, |
ОМ — |
луч, исходящий |
из |
точки |
|
О, |
MQ |
• отраженный |
луч, |
МТ — касатель- |
мая, |
MN— |
|
нормаль |
к |
кривой |
|
|
|
. г/ |
|
|
|
|
в |
точке |
Ai. |
|
Так |
как |
угол |
а |
|
|
|
|
|
|
|
падения |
(между |
падающим |
лу |
|
|
|
|
|
|
|
|
чом n |
нормалью |
к |
кривой) |
ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
вен углу отражения, то тре |
|
|
|
|
|
|
|
|
угольник |
OMN |
|
оказывается |
|
|
|
|
|
|
|
|
равнобедренным |
|
н, |
|
следова |
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОМ = |
ON. |
|
|
|
(23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОМ = |
)гОР<+ |
|
|
РМ2-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ух2 |
+ |
у2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина |
отрезка |
|
ON |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
абсциссе |
|
точки |
|
пересечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
нормали с осью Ох. Обозначая |
|
|
|
|
|
|
|
|
через |
X, |
У |
текущие |
коорди |
|
|
|
|
|
|
|
|
наты |
точки |
нормали, |
пишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение |
нормали |
|
как |
урав |
|
|
|
V , |
|
|
|
|
нение |
прямой |
с |
угловым |
|
коэффициентом |
проходящей |
через |
точку |
M [x; у) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• У - — І Х - |
|
|
|
|
|
|
Полагая |
в |
этом |
уравнении |
Y = |
0, находим |
абсциссу |
X |
точки |
N: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = |
х + |
уу' |
= |
ON. |
|
|
|
|
|
|
Теперь, в силу |
(23), |
получаем |
дифференциальное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vx2 |
|
+ ,f-=x + y d x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у dy — (Vx2 - f y2 |
— x) dx = |
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что это уравнение однородное. Сделав под становку
|
|
у —их |
(dy = и dx + л- du), |
|
приходим |
к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
их (и dx + x du) - ( j V |
+ и2х3 - x) dx = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и.ѵ rfK - [V\ + H2 |
- (1 + H2)] dx = 0. |
|
Разделяем |
переменные: |
и du |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
-КГ+1Г2 |
|
AT' |
|
откуда |
ц |
|
|
rf« |
|
Г rfx |
(24) |
J (1 + us) - ] Л ! + и2 ~ |
|
J ~ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл в левой части этого равенства находим при помощи |
подстановки |
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
1 + и2 |
= z2 |
|
(z = КГТй5); |
|
отсюда имеем |
|
2г dz, и du — z dz |
|
|
|
2и Л/ = |
|
н, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
- |
f |
|
|
|
Г _ Л _ . |
|
|
J ( 1 + н 2 ) + « = |
|
|
J z2 |
— г |
J |
z - 1 |
|
(мы |
не пишем In [ z — I | , |
|
так как |
z = V\ |
+ |
и2 > | ) . Заметив далее, |
что |
— |
—— === — In Ix |
I = |
+ |
In - — j - , |
и |
представляя постоянную |
интегрирования в форме |
In | С | |
в |
силу (24) |
находим |
|
|
|
l n ( z - 1) = 1 п - ~ + І п | С | , |
|
что |
дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z — I = |
— , |
|
z = H |
|
. |
|
A:X
З а ме н яя здесь z на У 1 + « 2 и а на — , приходим к соотношению
|
A |
x |
Не вдаваясь в строгое |
обоснование |
дальнейших преобразова |
ний, получаем |
|
|
Ѵх2 |
+ у2 = x + |
С, |
х2 + уі = х2 + 2Сх + С2
и, наконец,
