Файл: Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf

совпадает с началом координат, где находится источник света. Таким образом, поверхность прожектора должна иметь форму,

образуемую вращением вокруг осп Ох найденной параболы. Поверх­ ность эта называется параболоидом вращения.-

Наименование этого уравнения объясняется тем, что искомая функция у и ее производная у ' содержатся в уравнении только в первых степенях и уравнение не имеет члена, содержащего произведение уу'.

Перед тем как найти общее решение уравнения (25), разберем на частном примере способ интегрирования линейного уравнения.

Будем искать его решение в виде произведения двух функций и и V переменной х, т. е. положим

Поэтому одну из этих функций мы вправе выбрать про­ извольно. В целях упрощения уравнения (28) выберем

ЗЭ5

Представив это уравнение в виде — - + ^ - = 0 и раз­ деляя переменные, получим

do

(произвольную постоянную мы не вводим, так как

(здесь опустить произвольную постоянную мы уже не вправе, таккак из двух функции и и ѵ произвольно вы­

Полагаем у = иѵ (откуда у' — u'v -f- v'u) ; тогда уравнение (25) преобразуется в уравнение

u'v + иѵ' + Р (x) иѵ = Q {x)

или

396

Пользуясь правом произвольного выбора одной из функций и или V, выбираем функцию ѵ как одно из ре­ шений уравнения

переменном напряжении V в ряде случаев наблюдается явление, называемое самоиндукцией, которое состоит в возникновении элек­ тродвижущей силы, пропорциональной скорости изменения силы тока /. Явление самоиндукции возникает, если например, в сеть включаются двигатели (а также при замыкании и размыкании тока постоянного напряжения). Скорость изменения тока есть пронзвод-

397

пая силы тока по времени: - ^ - • Если сила тока убывает

то возникающая электродвижущая сила действует в одном направ­

лении с напряжением V, а если сила тока возрастает [^~jfir > oj>

то эта сила действует в направлении, противоположном V. Таким образом, величину возникающей электродвижущей силы можно

,dl

представить выражением —L-^j-, где L — множитель пропорцио­ нальности (коэффициент самоиндукции)- При наличии самоиндукции

и воспользовавшись формулой (31) для общего решения линейного уравнения, находим

, - . - ' * * [ / ( £ ; * - ) Л + с ]

где р и q— числа, а у— функция переменной х, носят наименование, указанное в названии этого параграфа. Для случая, когда f{x) = 0, уравнение

называется однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами или линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффи-

398

циентами без правой части. Уравнение (34) называют

неоднородным или уравнением с правой частью.

Многие вопросы механики, в частности вопросы, свя­ занные с исследованием колебательных движений, при­ водят к уравнениям указанных типов.

Рассмотрим, например, вертикальное колебание тела массы m, подвешенного на пружине, закрепленной од­ ним концом около положения равновесия О; в положе­ нии равновесия вес тела уравновешивается упругой си­ лон пружины. Если, оттянув пружину, вывести тело из равновесия, то оно начнет коле­

времени / (рис. 134, положение (-5)). Отклонение s по

леблется тело, и силы тяжести груза.

В обычных условиях восстанавливающая сила пру­ жины пропорциональна изменению длины пружины, а сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения тела. Обозначим соответствующие коэффи­

Направление восстанавливающей силы пружины про­ тивоположно направлению движения, а сила сопротив­ ления среды противоположна направлению скорости

399