движения. Таким образом, заключаем, что восстанав ливающая сила пружины в момент времени t равна
ds
—k(s0-\-s), а сопротивление равно —- / -^-. Так как все силы имеют вертикальное направление, то их рав нодействующая равна сумме
- k (s0 + s) - I 4f-+ mg = - ks0 - ks- l ~ + mg =
k s ~ l T t
(в силу того, что — kso'-\- mg = |
0). |
|
|
|
|
|
С другой |
стороны, |
по |
закону |
|
Ньютона, |
равнодейст |
вующая всех сил равна т~^г- |
|
|
Таким |
образом, |
при |
ходим к дифференциальному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
d'S |
|
|
, |
|
. ds |
|
|
|
|
пли |
|
|
m4ïï |
|
= |
- |
k s |
~ l |
4 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 4 ^ |
+ !lïï |
+ |
k s |
= °- |
|
|
|
(36) |
При |
помощи |
деления |
|
всех |
членов |
полученного |
уравне |
ния |
на m оно приводится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s" |
+ |
ps' |
+ |
qs = |
0, |
|
|
|
|
т. е. к уравнению типа |
(35). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим |
теперь, |
что |
на |
груз |
действует |
еще |
одна вертикальная сила по закону z=F(t). |
(Напри |
мер, |
представим |
себе, |
что мы |
подталкиваем |
груз |
рукой, |
аналогично тому как раскачивают качели.) |
Тогда |
к ука |
занным ранее силам добавится еще сила |
F(t), |
|
и мы |
придем к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d-s |
• = |
, , , ._, |
|
, ds |
+ mg |
+ |
F{f) |
|
|
|
m- d t î |
-k{sü |
|
+ ' s ) - l ^ |
|
|
или |
— |
" - V U I |
|
* d |
l |
|
|
|
|
|
|
|
d^s |
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По делении па m получим уравнение
s" + ps' + qs = f(l),
где положено
Полученное уравнение есть уравнение типа (34). Уже эта рассмотренная простая механическая задача пока зывает существенную необходимость обратиться к воп
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
росу о решении |
линейных |
уравнений |
второго порядка |
с постоянными |
коэффициентами. |
|
|
|
|
|
|
2. Р е ш е н и е |
о д н о р о д н о г о |
|
д и ф ф е р е н ц и |
а л ь н о г о |
у р а в н е н и я |
|
в т о р о г о |
|
п о р я д к а |
с |
п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и . |
Пусть |
у\ |
и |
t/2 — Два частных |
решения |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
У" + РУ' |
+ ду = |
0. |
|
|
|
|
(35) |
Покажем, |
что |
если функции |
у\ |
и у2 |
не |
пропорциональ |
ны [УіФІіу\), |
то |
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У^СІУІ+СІУІ, |
|
|
|
|
|
|
(37) |
где С\ и С2— произвольные постоянные, является |
об |
щим решением |
уравнения |
|
(35). |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Заменим |
в |
левой части |
урав |
нения (35) у выражением (37); получим |
|
|
|
|
{С\У\ + |
С2у2)" + |
р (С, г/, + |
СіУі)' |
+ q (СіУі |
+ С2у2) == |
|
|
= |
Су{ |
+ С2у'2' + рСуу\ |
|
+ рС2у'2 |
+ |
qC,y{ |
+ qC2y2 |
=» |
|
|
|
= |
С, [У'( + |
ру\ |
+ |
дУі) |
+ |
С2 |
{у'2' + ру'2 + |
qy2). |
Так как у\ |
и у2 суть частные |
решения |
уравнения |
(35), |
то каждая из этих функций удовлетворяет уравнению
(35); поэтому |
|
|
|
|
|
|
У'( + РУ[ + |
ЯУі = 0 |
и |
//2' + ру2 |
+ |
<7^2 |
= 0. |
Следовательно, такая замена |
обращает |
при |
любых С\ |
и С2 уравнение в равенство |
|
|
|
|
|
С, -0 + |
С 2 - 0 = 0. |
|
|
|
,Итак, у = С\у\ |
+ C2t/2 |
есть |
решение |
уравнения (35); |
а так как это решение содержит две произвольные по стоянные, Ci и С2, то вместе с тем это есть и общее решение.
Предположим теперь, что решения уі и у2 пропор циональны: у2 = kijy. Тогда
У = СуУі + C2kyx = (С, + C2k) уу.
Сумма постоянных Ci - j - C2k сводится к одной произ вольной постоянной С и, следовательно,
y = Cyt.
Ясно, что выражение Су\ есть решение уравнения (35)' (что легко и проверить), но решение уже не общее, так как содержит не две, а одну произвольную постоян ную * ) .
Таким образом, для нахождения общего решения уравнения (35) достаточно найти два его частных ре шения ух и У2, которые были бы не пропорциональны.
Станем искать частное решение уравнения
|
|
|
У" + РУ' + РУ = 0 |
|
|
|
(35) |
в виде фунТіции у = егх, |
где г — неизвестное |
число. |
Если |
функция |
егх |
есть |
частное |
решение |
уравнения |
(35), то замена |
в уравнении |
(35) |
у |
этой функцией |
дол |
жна обратить уравнение в тождество |
|
|
|
|
|
{егх)" |
+ р {егхУ.+ |
qerx = |
0. |
|
|
|
Заметив,, что (erx)' |
= |
rerx, |
{егх)" |
— г2егх, |
получаем |
|
гЧх |
+ prerx |
|
+ qerx = |
0, |
|
етх |
(г 2 |
+ рг + q) = О |
|
или, по сокращении на е'г ', |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 2 + |
рг + |
<7 = |
0 |
|
|
|
|
|
(при любых г |
и |
.V функция |
етхФ0). |
|
Заключаем, что |
функция |
будет |
решением |
уравнения |
|
(35) тогда |
и |
толь |
ко тогда, |
когда |
трехчлен |
г2 + pr -f- q |
обратится |
в |
нуль, |
т. е. только в том случае, |
когда г будет корнем |
квадрат |
ного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2+pr |
+ q = 0. |
|
|
|
|
(38) |
Алгебраическое квадратное уравнение (38) назы вается характеристическим уравнением для дифферен циального уравнения (35). Уравнение (38) второй сте пени может иметь:
(A)корни Т\ и г2 действительные различные;
(Б)корни гі и Г2 действительные одинаковые (в этом случае они могут быть только действительными)
|
(гі = г2 = г0 ) |
|
|
и |
Г\ и г 2 комплексные |
|
|
(B) корни |
(или |
мнимые). |
*) Напоминаем, что общим решением |
уравнения второго по |
рядка называется |
такое соотношение между х, у, |
которое содержит |
две произвольных |
постоянных (см. стр. 379—380), |
|
Рассмотрим |
последовательно эти |
три возможности. |
(А). Если |
корни |
|
Г{ и г2 действительные |
различные, |
то мы имеем два частных решения, у1 |
= |
еГіХ |
и |
у2 = ег^х, |
дифференциального |
уравнения |
(35). Так |
как отношение |
|
ü |
|
= i 2 i = |
e < r I - r J > * |
|
|
|
|
|
Уі |
ег*х |
|
|
|
|
|
есть функция, |
а не |
число (п — г2'фО), |
|
то |
эти |
частные |
решения не пропорциональны, и при помощи них мы
можем составить |
общее |
решение |
уравнения |
(35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
GV'* |
+ С2ег'х. |
|
|
|
|
Рассмотрим |
поясняющий |
пример: |
|
|
|
|
П Р И М Е Р |
8. |
Найти общее решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y"-5t/ |
+ |
6y = |
|
0. |
|
|
|
|
Составляем характеристическое уравнение для данного диффе |
ренциального |
уравнения *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 — 5г + |
6 = |
О |
|
|
|
и находим |
его |
корни: т\ = 2 , |
Гг — 3. |
Следовательно, |
общее |
решение |
уравнения |
у"— |
Ъу' -f- Qy — |
0 будет |
такое: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=Cte2x+C2e3x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Б). В случае равных корней |
характеристического |
уравнения |
(г{ |
= |
г2 — г0) |
частные |
решения |
уі и |
у2 |
бу |
дут |
одинаковы: |
У\ = |
У2 = ег>х, |
|
а |
значит вместе |
с |
тем |
эти |
частные |
решения |
будут |
и пропорциональны: |
у\ |
= |
=\-у2. Составить общее решение из таких частных ре
шений, |
|
как мы |
знаем, нельзя. Поэтому если |
функцию |
ег°х |
мы |
примем |
за |
одно частное решение у\, |
то |
второе |
частное |
решение |
у2 |
следует искать в виде функции, |
ко |
торая |
не была |
бы |
пропорциональна функции |
уи |
т. |
е. |
в |
виде |
такой функции, чтобы отношение — |
оказалось |
|
|
|
|
|
У1 |
|
|
|
некоторой (пока неизвестной) функцией г от х . Итак, полагаем
Ж—Л*- — ?
*) Характеристическое уравнение получается из дифференциаль ного уравнения путем замены порядков производных соответствую щей степенью неизвестного г, при этом у рассматривается как произ водная, так сказать, нулевого порядка, и замена у на г° дает I .
