Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
Пример2.П усть время безотк азн ой |
работы эл ем ента |
на р еж и м ах ё! и ё2 имеет |
|||
р асп р едел ен и е Р эл ея : |
|
|
|
|
л |
|
JL. |
|
|
|
|
t |
2ai. |
«2 |
t |
е |
24 |
МО = — |
е |
(0 = — |
|
||
°i |
|
|
°2 |
|
|
В си л у (4.13) б у д ем иметь
отк уда
t 1 *
Т ак и м о б р а зо м , в соответствии с (4 .1 4 ) получим
|
|
X-\-tz |
— t2 |
|
|
|
Г , |
2о2 |
|
Q(О Ч 0) — 2■ 1 |
te |
dt = |
||
|
а 2 |
J |
|
|
|
|
0 |
|
|
или в общ ем сл уч ае |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
2сг2 |
|
|
2 ( 0 |
= |
(02^1'f‘^1 (t-ii))2 |
||
< |
|
2о\4 |
||
|
|
|
1 — е
(02^i+01^2)2
9„2„2 2ст1а2
1 — e
(0 < t < t xy,
( h < t < t 2).
З н а я вероятн ость отказа эл ем ен та п ри работе его в рассм атриваем ы х у сл о в и я х ,
м о ж н о найти и д р у г и е хар ак тер и сти к и безотк азн ости .
Найдем теперь коэффициент готовности элемента в момент (tx + + t 2) в предположении, что ремонт полностью восстанавливает его работоспособность и что изменение режима работы не влияет на его
ремонтопригодность. |
|
|
Коэффициент |
готовности в момент tx + 12 определится выра |
|
жением |
|
|
|
11 |
t t |
kx(tx) = |
Рх(t) + j |
j ai (T) r (9 — т) К (t — 0) d0 dr. |
|
О |
т |
Пусть промежуток (0, х) таков, что коэффициент готовности в мо мент х при работе элемента на режиме е2 равен значению этого коэф фициента в момент tx при работе в промежутке (0 , tx) на режиме б!. Тогда аналогично предыдущему
X X
k2 (х) = Р2 (х) 4 - j | а2(т) г (0 —т) k2 (х — 0) dQ dr.
От
136
Теперь из условия (^) = k 2 (х) указанный промежуток времени определится выражением
X X
| [ а2(т) г ( 0 — т) k2 (х — 0 ) йв dr -f Р2 (х) =
о г ti и
— | |
J ах(т) г ( 0 — т) kx (ix— 0 ) d6 dr + Pi (A). |
0 |
% |
Зная величину x, можно в соответствии с изложенным опреде лить искомый коэффициент готовности из уравнения
k(t1 + t j = P(t1 + t J + f |
j a2(r)r(Q - r)k(x - { - t2 |
- Q )d ed r . |
O x |
|
|
Упомянем еще один способ |
определения величины |
Q (tj + t2). |
Вероятность безотказной работы в промежутке (0, t± + t2) равна |
произведению вероятности безотказной работы в промежутке (0 , ty)
на |
условную |
вероятность безотказной работы в промежутке (tu |
ti |
+ t2) — Р 2 |
(tjtx) при условии, что до этого промежутка отказа |
не произошло, |
т. е. |
Р(П t2) — Р г ((г) Р 2 (tJt-0.
Всоответствии с ранее изложенным
Р {ti + t2) = Р 2 (*) Р 2 (tjx).
Здесь Р 2 (t2/x) — условная вероятность безотказной работы в про межутке (х, t2) при условии, что до момента х отказа не было, а ве личина х имеет тот же смысл, что и ранее, т. е.
X~\~t 2
— J' %2 (О d t
P<ti + t*) = P2{x)e х
Подставляя в это выражение соответствующие величины из при мера 2 , находим:
- A . |
- j |
? |
{fji |
(0's^1 “f-O'1 ^2 )2 |
|
|
20 2 a2 |
||||
2а2 |
° 2 |
£ 1 |
|
||
Pit ! + t2) = e |
е |
|
|
= e |
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
Q Oi + 12) = 1 |
Р (ti -j- t2) = 1 - e |
2ст?СТо |
, |
||
1 2 |
что и требовалось получить.
1 3 7
Аналогично можно определить величину Q |
+ t2) и для при |
|
мера 1 . |
время |
на ре |
Рассмотрим случай, когда элемент, проработав |
жиме е^, переходит на режим е2 и работает на нем до отказа. Найдем среднее время безотказной работы элемента согласно условиям при мера 1. Так как
|
|
|
Т = |
J Р ( 0 dt, |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
где Р (i) = |
1 — Q (t), |
a Q (/) |
определяется выражением (4.16), |
то, |
||
|
t i |
га |
|
|
|
|
|
Т = | |
dt -|^ je-(>iH+x2 п— |
— -L (i — g—яп,) _j_ _L g—м , . |
|||
- |
0 |
<i |
|
|
|
|
при |
= X Г = |
при |
A. 2 —>0 T —>oo; при A,! —* 0 T —> ^ |
-+- |
||
. |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
—, что и следовало ожидать. |
|
|
|||
|
h<2 |
|
|
|
|
|
Используя аналогичные рассуждения, нетрудно обобщить полу ченные результаты на случай п режимов работы элемента еь е2, . . .,
§15. НАДЕЖНОСТЬ СЛОЖНОГО ЭЛЕМЕНТА
Характеристики безотказности* Рассмотрим наиболее вероятные случаи работы сложного элемента в составе СЭУ. Вначале найдем вероятность отказов и безотказной работы сложного элемента, счи тая, что после наступления отказа первой, второй или третьей групп новых отказов не возникает. Считаем также, что время работы до отказа каждой группы имеет показательное распределение с пара метрами Ах, А2, к3 соответственно.
Аналогично случаю простого элемента составим систему уравне ний, описывающих работу сложного элемента в вышеуказанных предположениях:
|
Qo(*) = |
— (* !+ * « + MQo (/); |
|
||
|
Qi (t) = |
X\Qo {t)\ |
|
|
|
|
Q'2(t) = |
hQ 0(t)- |
|
|
|
|
Q’3(t) = |
k3Q0(t). |
|
|
|
Здесь |
Q0 (t) — вероятность |
безотказной |
работы |
||
Qi (t), |
|
сложного |
элемента; |
второй |
|
Qz (t) и Q3 (t) — вероятность |
отказов первой, |
||||
|
|
и третьей |
групп соответственно. |
138
Решив систему (4.17), будем иметь:
Q0 (^) = е~ <*-1 +Яа+Я») t
(^1+Х2+Я.з)
— £—(Л^Ч-Яз+Ящ) |
(4.18) |
— q~ (Я-1+Я.2+Я.з)
Выражения (4.18) определяют искомые вероятности в случае, когда новых отказов не возникает после наступления отказа любой группы. Однако после наступления отказа первой или второй групп сложный элемент может продолжать работу и у него возможно по явление новых отказов всех трех групп.
Считая, что повторное возникновение отказа той же или более легкой группы не меняет состояния элемента, уравнения, описываю щие его работу в данном случае, получаем в виде:
Qo (0 — -- (A.J |
^з) Qo{t)\ |
|
|||
Qi (t) = |
h Q o ( t ) - ( h |
+ h)Qi(ty, |
(4.19) |
||
Qi (t) = |
foQo (t) + hQi (t) - |
Ы к (/); |
|||
|
|||||
Q3 (0 = |
hQo (t) -j- hQ\ (0 4- |
(t). |
|
Решения системы (4.19) имеют вид:
Q0 (t) = е~~Ui-Ич-И») t . q2 (^ — е-Яз* — q—(я2+я3) t-
Qx (^) = е~~(*-«+Яз)t — g—(Я1 +Яз+я3) и qs (/) = 1 — g—Kt' (4.20)
Выражения (4.20) соответствуют случаю, когда интенсивности отказов после наступления первого из них (за исключением отказа третьей группы) остаются прежними. Но часто после наступления отказ первой или второй группы режим работы элемента изменяется. При этом изменятся и интенсивности отказов всех трех групп. Обо значив их новые значения через %.{, Ц. и Ц соответственно, уравне ния, описывающие работу элемента, запишем:
Qo(t) = |
— (?4 + |
^2 “b ^3) Qo (0> |
|
|
QI (t) = |
^iQo (t) — (^2 + Ю Qi (0; |
(4.21) |
||
Q'2 (t) = faQo (t) + KQi {t) — KQ2 (ty, |
||||
|
||||
Q3 (i) — hQo (0 |
^Qi (0 ^3 Q2 (0- |
|
Используя преобразования Лапласа, нетрудно получить решения уравнений (4 .2 1 ), однако они громоздки и поэтому здесь не при водятся. Зная величины Q0 (t), Qi (t), Q2 (0 и Q3 (t)> можно найти и вероятности безотказной работы относительно отказов каждой группы, частоту отказов, среднее время до отказа и другие харак теристики, используя приведенные выше зависимости между ними.
139