Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
Аналогично относительное значение выигрыша по вероятности отка зов третьей группы по сравнению с нерезервированным элементом имеет вид:
„ / f \ _ Qi (0 — Qc3 (О |
_ AQc3 (0 _ Я.1 (е X i t — е Х2*) |
/с ио\ |
Qi* |
~ Qi(0 ~ ( К ' - ыи - е - Ы ) ’ |
! |
П т о ) п (^ ) = 0; Н т с о л (/) = 1. |
|
|
со |
t^-0 |
|
Зависимость величины o)Q от времени при различных соотноше ниях между и к 2 представлена на рис. 41.
Из выражений (5.43) и рис. 41 видно, что выигрыш coQ(t), полу ченный в результате резервирования, тем больше, чем меньше про должительность работы резервированной системы.
чины (Ор при |
различных соотношениях чины coq при различных соотношениях |
|||
между |
и А,а. |
между |
и А,а. |
|
Частота |
отказов. В соответствии с (3.4) |
и (5.37) найдем |
||
|
“- |
(() = T J= 1 |
|
(5.44, |
“М = - т Щ ~ (<г Ы -
Если рабочий и резервный элементы равнонадежны, т. е. если А^ = = А,2 = к, то из (5.44) получаем:
ac0(t) — ke~Xi\
lim ас1 (t) = ке~и (1 — kt)\ |
(5.45) |
lim ac3{t) = k2te~xt-,
Яз-^Ях
Абсолютный выигрыш по частоте отказов третьей группы по сравнению с нерезервированным элементом можно определить из выражения
Аас3(0 = М 0 — «сз (0 = |
(^ e -W — ^e-W ). (5 .4 6 ) |
Сравнивая (5.46) со вторым равенством из (5.44), можно видеть, что
Ааса ( * ) '^ с о
относительное значение выигрыша по частоте отказов третьей группы имеет вид
“ а (0 = |
Ласз (О Х2е~ |
* — At |
«1 (О |
^2 Xj |
1
(5.47)
Рис. 42. Зависимость от времени вели чины соа при различных соотношениях между Хх и Х2.
limcoa (t) |
П |
|
т — п |
||
t->СО |
Если — < 1,
п ’
Пшсоа (/) = —оо . t->CD
Зависимость величины соа от времени, определенная выраже нием (5.47), представлена на рис. 42. Здесь точка пересечения кри вой соа (t) с осью абсцисс показывает время, до которого частота от казов резервированной системы меньше частоты отказов нерезер вированного элемента.
Среднее время безотказной работы* При резервировании замеще
нием |
среднее |
время безотказной работы резервированной' |
си |
стемы |
(Гс0) |
равно среднему времени безотказной работы |
эле |
мента 1 |
(Тг), а так как этот отказ является отказом.первой группы, то |
|||
|
Tco — Tcl = T1 = j~ - |
|
(5.48) |
|
Среднее время до отказа |
третьей группы |
Тс3 можно |
определить, |
|
|
|
ОО |
|
Рс3 (t) из |
подставляя в выражение |
Тс3 = j Рс3 (t) dt |
вероятность |
||
(5.37). |
Тогда получим |
о |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(5.49) |
166
По сравнению с нерезервированным элементом эта величина уве личилась на
A7’c8 = 7’c, - 7 ’1 = 1J ->
Л2
т. е. на величину среднего времени безотказной работы элемента 2, иначе говоря, этот выигрыш равен времени, в течение которого ре зервированная система находится в состоянии отказа первой группы. Таким образом, в данном случае, как и в отношении других коли чественных характеристик надежности, выигрыш достигается не за счет уменьшения числа отказов, а за счет равноправной замены более опасных из них (отказов третьей группы) на более легкие отказы первой группы. При А,! = А,2 = ^ из (5.48) и (5.49) определим
Т РЛ= Т„
(5.50)
Т е3 = |
2_. |
к ’ |
Характеристики надежности с учетом восстановления. Для опре деления коэффициента готовности и других характеристик надеж ности резервированной системы с учетом восстановления элементов после отказа составим уравнения, описывающие ее работу, и найдем их решения. Рассмотрим сперва случай равнонадежных элементов, когда = А2 = к и Pi = р 2 = р.
Искомые уравнения имеют вид:
Qco (0 = IQco (t) pQci (t) ;
Qci (0 = ^Qco (0 — (^ |
P) Qci (0 |
-j- 2pQc3 (t)', |
(5,51) |
|
Qc3 (0 — A,Qci (t) — 2 p Q c3 (t).
Решая систему (5, .51) с помощью преобразования Лапласа, око: чательно получаемп:
Q c o ( 0 — |
2p2 |
2p2 (beai — aebt) |
(3p 4- k) (abeat — abebt) |
|
||||
ab |
+ |
|
ab (a — b) |
+ |
|
ab (a — b) |
+ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. d}beat |
ab“ef |
|
|
|
|
|
|
|
ab (a — b) |
|
|
|
|
n t t \ ___2A,p |
1 |
2\ik(bea t — aebt) |
, |
к (abeat — abebt) |
(5.52) |
|||
V c i P ; - |
ab |
- f |
a b ( a - f i ) ------ + |
------- a b (a ^ b ) ------; |
||||
|
|
|
|
|
k2 (beat - |
aebt) . |
|
|
|
|
|
|
|
ab (a — b) ' |
|
||
|
|
a |
b = |
3p + 2к |
Kp2 -j- 4Xp |
|
||
|
|
|
|
2 |
- |
2 |
|
|
Члены в (5.52), не зависящие от времени, являются предельными значениями для Qci (t) (i = 0, 1, 3).
167
Нетрудно видеть, что Qc0 (t) есть коэффициент готовности системы
и что 1 — Qc2 (О и 1 — QC3 (0 есть коэффициенты готовности отно сительно отказов первой и третьей групп. На рис. 43 представлен
характер изменения времени в зависимости от величин Qci (i = О, 1, 3), определяемых выражениями (5.52), при различных значениях X, и ц в интервалах, аналогичных случаю нерезервированного элемента (это исчерпывает большинство встречающихся на практике случаев).
Из рис. 43 следует, что уже через 500—700 ч работы резервиро
ванной системы значения Qci (t) (i = 0, 1, 2) практически равны своим предельным значениям. Подставляя приведенные выше выра жения для а и b в (5.52) и переходя к пределу при t —* оо, получаем:
• Q — |
___________ 2^2 |
• |
Vc0 ~ |
X2 + 2?щ + 2ц2 ’■ |
|
= |
|
<5-53> |
о
V c3 — X2 + 2 Х ц + 2 ц 2 •
Сравнивая стационарные значения вероятностей из (5.53) с та ковыми для нерезервированного элемента, дриходим к выводу, что стационарное значение вероятности нахождения системы в произ вольный момент времени в исправном состоянии уменьшилось на величину
AQco = go — Qco = (я + д щ г + 2Лд + 2|х2) • |
(5‘54) |
Одновременно вероятность нахождения системы в состоянии от каза третьей группы уменьшилась на величину
A Q cs = Qca — g s = ( я + ц ) ( я 2 + 2 Х ц + 2 д 2) ‘ |
( 5 ’5 5 ) |
Кроме того, в состоянии отказа первой группы резервированная система находится, как это видно из (5.53)—(5.55), с вероятностью
Qci = AQc0 -f AQc3. |
(5.56) |
Вероятность безотказной работы с учетом восстановления. Так как отказ третьей группы резервированной системы является наи более опасным и зачастую приводит к невозможности эксплуатации установки в целом, представляет интерес вероятность события, за ключающегося в том, что до момента времени t резервированная си стема не имела такого отказа (вероятность безотказной работы с уче
том восстановления Р (()). Для нахождения этой вероятности будем считать событие, когда оба элемента системы находятся в состоянии отказа, поглощающим состоянием. Тогда искомая вероятность равна
Р (t) = 1 — Qc3 (0> где Qc3 (t) определится из уравнений, описываю-
168
а)
«С2 |
—— |
> |
0,06 |
г s'{ .. |
0сг(^" |
'0,07 |
||
-0,06 |
|
Исз{5). |
0,05 |
|
|
'0,09 |
|
I |
-0,03i t |
|
|
0,02 |
7 |
|
'0,01Г |
|
|
|
Г |
|
В) |
Qci |
|
|
а ) “оСО |
|
0,9х |
1 |
||
|
! |
|
||
|
0,8 |
\ |
|
|
|
0,7 |
\ |
|
): |
|
0,6 |
X |
|
\)< |
|
0,5 |
ч < |
~ * 4 , ! У |
;—, ®со(t> |
|
■0,9 |
• |
|
|
|
0,0 |
* — |
|
|
|
/с |
1 |
|
|
|
0,2 |
|
||
|
0,1 |
/ X |
к — |
|
иJ_ _ _ _ __ _ _ _ _
О100 200 300 900 500Ь,ч
г)
0и-10
5
4
J
2
1
0 200 400 6001,4
Рис. 43. |
Зависимость |
от |
времени |
величин Qc0, |
|||
Qci и Qcs Для |
резервирования |
замещением: |
|||||
а — Я, = |
10~3 1/ч, |
[х= 10-1 |
1/ч; б — Я,= 10"8 |
1/ч, |
|||
(х= 10-1 |
1/ч; |
в— Я = 5 |
-1 0 |
-2 1/ч, fx = 5 - 10~2 |
1/ч; |
||
г — Я = |
10-4 |
1/ч, р = 1 |
0 “ 2 |
1/ч; д— Я, = 10~5 1/ч, |
|||
[Л= 5 -1 0 '2 1/ч.