Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf

первой группы. Так, дифференцируя равенства (5.65), для соответ­ ствующих частот получим выражения:

+( ^ 2 — ^1 ) е~~Щ\

Если = Х2 = Xs — X, то из приведенной системы найдем:

a0(t) = Xe~ Kt;

a, (t) = Xe~u (1 — Xt)-,

аш (0 — Х Ч 2 о—■Ы

Нетрудно также убедиться в том, что среднее время до отказа одного, двух и трех элементов соответственно равно:

Соотношения для случаев Х± = Х2 = Х3 = X очевидны.

Характеристики надежности с учетом восстановления. Обозначим

через Q£(t) (i = О, I, II, III) — вероятность застать резервированную систему, с учетом ее восстановления, в момент времени t в г'-м со­ стоянии, т. е. в состоянии отказа i элементов.

Рассмотрим случай, когда элементы 1, 2 иЗ равнонадежны, имеют одинаковую интенсивность восстановления р. Тогда уравнения, опи­ сывающие работу системы, для этого случая имеют вид:

175

Предельные значения вероятностей Qt (t) (i = О, I, II, III), по­ лученные из системы (5.68), определяются из соотношений:

Таким образом, стационарное значение вероятности застать си­ стему в произвольный момент времени в состоянии, когда все эле­ менты исправны, равно

Вероятность застать систему в состоянии отказа первой группы

и вероятность застать систему в состоянии отказа третьей группы

Вероятность нахождения системы в исправном состоянии по сравнению с нерезервированным элементом уменьшилась на вели­ чину

Кроме того, отказы первой группы для резервированной системы наступают, как это следует из (5.69), (5.72), (5.73) и (5.74), с вероят­ ностью

Аналогично случаю одного резервного элемента могут быть со­ ставлены уравнения, описывающие работу системы с учетом погло­ щающего состояния. Для этого из системы (5.68) следует исключить члены, содержащие_множитель' Зр. Определив из полученной си­

стемы вероятность Q3 (t) и затем среднее время до возникновения

отказа третьей группы с учетом восстановления, окончательно по­ лучим

if,_ЗЯ2+ ЗЯр+ 2р2

V

1 7 6

Пусть механизмы 1, 2, 3 неравнонадежны с интенсивностями отказа Xlt Х2, Ха и интенсивностями врсстановления р 2 и р3 соответственно. Тогда в обозначениях, аналогичных ранее приня­ тым, уравнения, описывающие работу системы, будут иметь вид:

+ Qiii (0 p3J

Qn(2 3) (4 = Qi— 2 (0 X 3 — Qn 3) (t) (иг 4" Р з 4" ^0 4-

4" Qiii (0 Pi>

Qiii (0 = Qn 3) (t) X2 — Qn 2>(0 + Qn 3)(0^i4 -

4“ (pi + P2 4~ Рз) Qiii (0-

Для решения системы (5.76) в связи с большим числом уравне­ ний применяется ЭВМ.

Характеристики надежности в случае произвольных законов рас­ пределения. Результаты, полученные выше для резервирования за­ мещением, справедливы при показательном законе распределения времени безотказной работы и времени ремонта. Однако экспонен­ циальный закон надежности элементов СЭУ на практике встречается не всегда. Если закон распределения времени работы до отказа эле­ ментов установки вследствие профилактического обслуживания можно ожидать показательным, то возможность проявления этого закона для времени восстановления на практике весьма ограничена. Вообще говоря, на практике могут появляться различные законы. Рассмотрим характеристики надежности резервированных систем в этом случае.

Что касается характеристик безотказности, то используемые для их расчета выражения, такие, как (5.33)—(5.37), справедливы для

любого закона распределения времени безотказной работы. С целью получения окончательных результатов в случае экспоненциального закона надежности в них подставлены соответствующие величины, вид которых определяется этим законом. В случае произвольной функции распределения в указанные зависимости следует подста­ вить соответствующие величины для данного закона. Однако при этом часто оказывается невозможным получение искомых вероят­ ностей в явном виде, но они всегда могут быть получены путем рас­ четов при помощи ЭВМ.

Таким образом, расчет количественных характеристик надеж­ ности до первого отказа при резервировании замещением и произ­ вольном законе распределения времени безотказной работы можно выполнить указанными выше методами.

Рассмотрим случай, когда время безотказной работы имеет пока­ зательное распределение, а время ремонта распределено произвольно. Тогда все ранее полученные результаты остаются асимптотически справедливыми. Действительно, Б. В. Гнеденко и А.,Д. Соловьевым [21, 78] доказаны теоремы, в соответствии с которыми средняя про­ должительность безотказной работы асимптотически не зависит от функции распределения длительности восстановления. Эти теоремы справедливы, если вероятность того, что время восстановления прев­ зойдет время жизни элемента, мала. Как уже отмечалось, продолжи­ тельность ремонта механизмов, аппаратов и устройств, входящих в состав СЭУ, намного меньше времени их работы, что делает возмож­ ным использование теорем Б. В. Гнеденко и А. Д. Соловьева.

Таким образом, при произвольном законе распределения времени ремонта будем иметь асимптотически те же значения количествен­ ных характеристик надежности резервированной системы, что и при экспоненциальном законе. В указанных работах отмечено, что аналогичные утверждения можно сделать и для других схем резерви­ рования, которые будут рассмотрены ниже.

Пусть время работы и время ремонта распределены произвольно. Определим вероятность безотказной работы с учетом восстановле­

ния Р (t). Важность этой величины для оценки надежности резервиро­ ванных систем СЭУ объясняется недопустимостью таких отказов во время эксплуатации судна.

В работе [30] показано, что вероятность безотказной pa6ofbi относительно отказов третьей группы с учетом восстановления для наиболее часто встречающегося случая, когда рабочий элемент 1 резервируется таким же элементом 2, имеет вид

где ф (т, t — т) — вероятность события, заключающегося в том, что система не будет иметь отказа третьей группы в интервале времени (т, t), если рабочий элемент отказал в момент т. Интегральное урав­ нение для определения неизвестной в (5.77) функции ф (т, t — т)

178

запишем так:

t

j а (г) ф (т, t — т) — Р (t —т) —

ванием ЭВМ. После этого из (5.77) можно определить искомую ве­

роятность Р (t).

Рассмотрим случай, когда элементы 7 и 2 неравнонадежны. Обозначим через фх (т, t — т) и ф2 (т, t — т) вероятности, имею­

щие тот же смысл, что и ф (т, t —■т), но при условии отказа элемента 1

Кроме того, вероятность Р (1>(t) можно записать в виде вероятности события, являющегося суммой следующих событий:

—элемент 1 безотказно работал до времени t;

—элемент 1 отказал в момент х, но резервный элемент 2 был

dx. (5.81)

ощ