Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
Относительное значение выигрыша по вероятности безотказной работы относительно отказов третьей группы по сравнению с нере зервированным элементом будет
|
|
|
|
А Р с з ( 0 |
= |
1 |
Х'ё~и - 21е~и |
(5.106) |
||||
|
|
|
юР (9 |
; |
Рс3(О |
%'е~т — 2U~%t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
Я' — — Я, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т — 2 |
|
|
|
|
|
|
юр (9 = |
1 — |
|
|
|
п |
|
|
(5.107) |
|
|
|
|
— е |
ы |
— 2е 4 п |
' |
и |
|||||
|
|
|
|
|
|
т |
—И |
|
|
|
||
|
|
|
юр (0) = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
— > 1 |
Нпийр (9 = — оо; |
|
|
|
|
||||||
|
п |
|
|
t-> со |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
— < 1 |
Нпивр ( 9 = |
1; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
п |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
при |
т |
|
1 limcop (9 = |
-s-. |
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
|
со |
|
^ |
|
|
|
|
|
\ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Изменение величины юр во времени |
Рис. 46. Зависимость от вре |
|||||||||||
для различных соотношений между Я и Я' |
мени величины сор при раз |
|||||||||||
приведено |
на |
рис. |
46. |
Здесь |
при Я' > Я |
личных соотношениях между |
||||||
|
|
Я и Я'. |
||||||||||
точка |
пересечения |
кривой |
сор (9 |
с осью |
|
|
|
|||||
абсцисс показывает время, при котором вероятность безотказной ра боты Р с3 (9 равна этой же величине для нерезервированного элемента.
Относительное значение выигрыша по вероятности отказов третьей группы для резервирования замещением по сравнению с нерезерви рованным элементом в соответствии с (5.99) определится равенством
CDq ( 9 |
== Q1 (0 |
<2сз (9 |
Я в |
-2U •2Яе |
-]- 2Яе,- lt ■%ё -U |
(5.108) |
|
|
Qi(t) |
|
|
( Я '- 2 Я ) ( 1 - е - ^ ) |
|
||
|
|
|
limtOQ (9 = |
1. |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
При |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
J O - e - W - to |
- — и |
2е~и — — |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
п. |
|
|
|
|
|
|
юс (9 |
= |
/ |
т |
г) (1 — |
|
|
|
|
|
\ |
п |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
П т м е (9 = + 0
t-> со
lim o)Q(9 = — 0
со
при - |
1; |
при |
> 1 . |
189
Зависимость величины a Q' от времени |
приведена |
на рис. |
47. |
Из (5.108) и рис. 47 следует, что выигрыш |
coQ(t) тем |
больше, |
чем |
меньше продолжительность работы резервированной системы. Зная вероятности отказов и безотказной работы, можно найти и
другие характеристики безотказности. Как и в случае резервирова-
Wq |
[ замещением, частота отказов имеет |
|
Рис. 47. Зависимость от вре мени величины соq при раз личных соотношениях между
X и X'.
aoi(t) = |
- P c i ( t ) |
(i = 0 , 2 , 3 ) . |
|
Таким образом, из (5.99) найдем: |
|||
ac0{t) = 21е~2М\ |
|
||
m |
2Я (2Ле~Ш — X’e~v t ) |
|
|
“ с2 U1 - |
|
Я' — 2Я |
|
асЭ(t) = |
2 U ' (е~ т |
■— e~V t) |
(5.109) |
|
Я' — 2Я |
|
|
Если после отказа одного из элементов нагрузка другого остается прежней, т. е. если %' = Я, то
ас0 (/) = 2Ле~2«; ас2 (t) = 2%е~м (1 — 2е~м);
' |
ac3(t) = 2 X e~ M (\ - e - u ). |
(5.110) |
В случае, когда К' — 2к, будем иметь: |
|
|
|
ae„(i) = 2Хе-™- |
|
|
1im ас2 (t) = 21ке~2и (1 — 2 |
|
|
1im ас3 (t) — ^ХЧе~2и. |
(5.111) |
|
Х'->2Х |
|
Относительное значение выигрыша по частоте отказов третьей группы
|
Дас, (0 |
, |
2Х'е~и — 2Я'е_ а '_х') 1 |
|
||
|
“ а(/) = _ |
м о = |
1-------------- |
м |
я ---------- |
• |
При |
I |
|
|
|
|
|
|
соа (t) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
limcoa(^) = 1; |
|
|
||
|
|
t->о |
|
|
|
|
|
limcoa(0 = 1 при |
- ^ - >1 ; |
limcoatf) = |
— сх. при |
- ^ - <1 ; |
|
|
< - > » |
П |
t-+CO |
|
1 |
|
|
limo)a(^) = |
— 1 |
п р и — = 1. |
|
||
|
|
t^-св |
|
n |
|
|
190
Зависимость величины « а от времени при различных значениях —
приведена на рис. 48. При ~ |
> 1 минимум кривой соа (t) достигается |
п In ----------- |
находится в области больших %t |
при Xt = ------— (эта точка |
и поэтому не показана на рис. 48).
Вычисляя изменение частоты отказов в результате резервирова
ния, можно показать справедливость равенства |
|
|||
|
Дас2(0 = |
Лас0(0 + |
Айсз(0- |
(5.112) |
0,8 |
|
|
|
|
0.S |
|
|
|
|
Oft |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
О 02 Oft |
О,В 08 Ifl 1,2 |
10 |
|
|
|
|
Xt |
|
|
Рис. 48. Зависимость от вре |
Рис. 49. Диаграмма сред |
|
||
мени величины ша при раз |
него времени безотказной |
|
||
личных соотношениях между |
■работы. |
|
||
к |
и X'. |
|
|
|
Сравним теперь среднее время безотказной работы резервирован
ной системы и нерезервированного элемента в случае, когда |
< 1 |
|
^случай |
^ 1 рассматривается аналогичное учетом знака ДТс3^ . |
|
Пусть резервированный элемент отказал в случайный момент времени т (рис. 49), а один из элементов 1 или 2 резервированной си стемы — в момент тх; оставшийся исправным элемент отказал в мо мент 0. Очевидно, что в среднем тд < т < 0. Таким образом, среднее время безотказной работы резервированной системы Тс0 равно Среднее время пребывания системы в состоянии отказа второй группы Тс2 равно 0 — и среднее время безотказной работы относительно отказов третьей группы Тс3 равно 0.
Из рис. 49 следует, что в результате резервирования среднее время безотказной работы по сравнению с нерезервированным эле ментом уменьшилось на величину ДТс0 = т — тх. Одновременно среднее время безотказной работы относительно отказов третьей группы увеличилось на величину ДГс3 = 0 — т. Из рис. 49 следует также, что
ДГс3 + Д7С0 = Тс2, |
(5.113) |
где Тс2 — время пребывания системы в состоянии отказа второй группы.
191
Найдем каждую из приведенных в выражении (5.113) величин. Как и в случае резервирования замещением,
оо
Tci = \ p ci{t)dt (г = 0,3). |
(5.114) |
о |
|
Подставляя в (5.114) выражения для Pci (t) из (5.99) и интегри руя, окончательно получаем:
у |
_ |
1 |
I |
1_ • |
|
д т |
_ _ J ___ 1 |
• |
|
||
ic3— |
Я' |
|
2Я ’ |
|
|
|
АГС0 = |
- ^ - . |
(5.115) |
||
Для определения времени пребывания в состоянии отказа вто рой группы найдем функцию распределения F (t), т. е. найдем ве роятность Р j Тс2 < /}. Эта вероятность есть вероятность события, заключающегося в отказе одного из элементов в момент т и отказе другого в промежутке (т, т + t), т. е.
F(t) = P{Tc2< t} =
со %- \-t
= 2 J | а (т) Р (т) а' (0 — t) dQ dx = 1 — e~v t .
0 x
Таким образом,
со |
со |
со |
|
Тс2 = JtF' (t) dt = —te~vt |
| + |
J erv* & = |
-&-. |
о |
о |
о |
Л |
Теперь нетрудно из (5.115) убедиться еще раз в справедливости (5.113).
Равенство (5.115) показывают, что выигрыш во времени без отказной работы имеет место лишь в случае, когда к' < 2к.
Аналогично может быть рассмотрен и более общий случай, когда механизмы 1 и 2 неравнонадежны. Пусть A,i, к2, Xj и к2— соответ ственно интенсивности отказов элементов 1 и 2 при исправной их работе и при отказе одного из них. Тогда, выполняя для этого слу чая приведенные выше вычисления, получаем:
p c0(0 = e_№i+x,,<;
Xie- ( ^ + w _ kie- w
я е~ ( Я 1 + Л 2 ) 1 — |
~ \ \ t |
|
Л* (0 = 1 |
%2— — Я.2 |
— Ят |
(5.116) |
|
|
192