Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 0
системы может быть описана уравнениями процесса чистой гибели. Для рассматриваемого случая резервирования они будут:
Qo(0 = —3XQ0 (/);
Q’l (t) = 3XQ0 ( t) - 2 h Q i (t)\
(5.124)
Qu{t) = 2K1Ql( i ) - X 2Qii(ty,
Qiii (0 = X2Qu (0-
Здесь Су (t) (i = 0, I, II, III) — вероятность нахождения системы в момент £ в г-ом состоянии, т. е. в состоянии отказа i элементов.
Принимая во внимание классификацию отказов системы, можно отметить, что состояние 0 есть исправное состояние, состояние I и II — отказ второй группы и состояние III — отказ третьей группы резервированной системы. Таким образом, вероятности застать резервированную систему в исправном состоянии Qc0 и состоянии
отказа i-й группы |
(i = |
1, 2, 3) Qci определяются |
соотношениями: |
Qco(0 = Qo(0; |
Qc2 |
$) — Qi (t) ~Ь Qn (0> Фсз(0 = |
Фш(0 (5.125) |
Окончательно для искомых величин, решив систему (5.124), получим следующие равенства:
Qo{t) = e-™-
Q, (0 = » А г ( е^ <- е“ %,0;
2%1— гх
6ХХх
Qn (0 : (2Хг — ЗЯ) (ЯаЗЯ) (2Хг - Я2)■[(2К - К ) е ~ ™ +
+(Л2—ЗЛ) e~2kii +(ЗЛ—2ЛХ)
n |
_1 _______ 2Х\Х2е ^ ____ _ |
ЗХХ2е-2к'( |
VniUI— 1 (2А,!— ЗЯ) (Я2— ЗЯ) |
( ЗХ - 2 Х 1)_(Х2- 2 Х 1) |
|
,
бЯЯхв"— (5.126)
(ЗЯ— Я2)(2Яа— Я2) •
В случае, когда Ях = Я2 = X, т. е. перераспределения нагрузки при отказе элементов не происходит, из (5.126) будем иметь:
(20 (*) = в - Ш ; |
|
Ql (t) = 3(е-2« — <г-ш ); |
|
Q1l (t) = 3 (е- « — 2e-2w + e~3kt)- |
(5.127) |
Qm (t) = 1 — е-ш + Зе-2» — 3e~xt.
Зная величины Q0 (£), Qt (t), Qn (t) и QUI (t), можно при помощи (5.125) определить вероятности отказов соответствующей группы, вероятности безотказной работы и другие характеристики безот казности.
1 9 9
Qo
0,99
0,98
0,91
0,98
Рис. 52. Зависимость от времени вероятностей |
Q0, Qj, Оц и Qui |
Для |
схемы |
параллельной |
работы трех элементов: а —X, |
||
= K= 10-2 l/ч, р = 10-1 1/ч; б — Хх = X = 10-4 1/ч, р = 10-2 |
1/ч; |
в ~ К = JO '4 l/ч, Х = 10-5 l/ч, р = 5-10-2 1/ч; г — Я, |
|||||
= 2-10-5 |
i/4; х = 10-6 |
1/ч, |
|||||
Р = |
5-10-2 |
1/ч. |
1 |
||||
В частности, для среднего времени безотказной работы и до отказа
третьей группы |
будем иметь: |
1 |
|
|
|
|
|
|
ТСО |
|
|
|
|
|
|
ЗА |
’ |
|
|
|
|
2АХА2 |
|
. |
|
ЗАА2 |
|
сЗ ' :ЗА(2АХ— ЗА,)(А2 |
Ж) |
' 2АХ(ЗА— 2АХ)(А2— 2АХ) |
|
|||
|
|
|
6ААХ |
|
|
(5.128) |
|
А2(ЗА— А2)(2Ах— А2) |
|||||
|
|
|||||
При Ах = А2 = |
А |
I |
|
|
|
|
|
Тсо — |
Г |
— |
11 |
(5.129) |
|
|
ЗА |
1 с3~ |
6А |
|||
Характеристики надежности с учетом восстановления. Обозна
чим через ~Qt (t) (i = О, I, II, III) вероятность застать резервиро ванную систему в момент времени t в i-м состоянии, т. е. в состоянии отказа i элементов. Рассмотрим случай, когда элементы 1, 2 я 3 равнонадежны, имеют интенсивность отказов А, интенсивность вос становления р и при отказе двух из них третий работает с интенсив ностью отказов Ах. Для этого случая уравнения, описывающие ра боту системы, имеют вид:
|
Qo(t) = |
—3AQo (t) + |
pQi (^); |
Qi (0 = |
— (2A, + |
p) Qi (t) -j- 3AQo it) -f- 2pQn (t)\ |
|
Qii (0 = |
— (2p + |
|
(5.130) |
Ai) Qu (t) -j- 2AQi (/) 3pQni (0> |
|||
|
Qiii (0 = |
—3pQni (0 + |
A-iQn(0- |
Графически решения системы (5.130) для различных А, Ах и р изображены на рис. 52, из которого видно, что уже через 500—600 ч
Q. (t) |
менее чем на 5% отличается от |
своего предельного значения, |
т. е. справедливы те же соображения |
о сходимости, что и в случае |
|
двух |
параллельно работающих элементов. Предельные значения |
|
вероятностей Qt (t) (t = 0, I, II, III), полученные из системы (5.130), определяются из соотношений:
Qo
Q ,= -
Qu =
Q i i i =
р» + Зр2А + ЗрА2+ А2АХ ’
_______ Зр^А_______ .
р3+ Зр2А + ЗрА2+ А2АХ ’
ЗрА2 р3+ Зр2А + ЗрА2+ А2АХ ’
А2АХ р3+ ЗрА + ЗрА2+ А2АХ '
202
Очевидно, что стационарное значение вероятности застать си стему в момент времени t в состоянии, когда все элементы исправны, т. е. стационарное значение коэффициента готовности
Qco = Qo-
Стационарное значение вероятности застать систему в состоянии отказа второй группы
Qc2 = Q\ + Qii-
Стационарное значение вероятности застать систему в состоянии отказа третьей группы
Qc3 = Qni-
Для рассматриваемой системы резервирования из сравнения с нерезервированным элементом можно показать справедливость ра венства
Q c 2 — A Q c O “ И Д < ? С З -
Аналогично предыдущему могут быть рассмотрены и другие бо лее общие варианты работы элементов при данной схеме резервиро вания.
Произвольный закон распределения
Большинство из вышерассмотренных зависимостей справедливы при показательном законе распределения как времени работы до отказа, так и времени ремонта. Однако при решении ряда задач необходимо знать количественные характеристики надежности в случае произвольного вида закона распределения этих величин. Как и в случае резервирования замещением, остановимся на одной из наиболее важных характеристик надежности резервированной системы, состоящей из двух элементов. Найдем вероятность безот казной работы относительно отказов третьей группы с учетом восста
новления Р (t). Однако определим сперва вероятность Q (t) противо положного события, т. е. вероятность отказа системы с учетом вос становления.
Очевидно, что
P ( t ) = l - Q ( t ) .
Рассмотрим случай, когда параллельно работающие элементы 1 и 2 равнонадежны, и обозначим через ф (т, t — т) вероятность отказа , системы за время t, если отказ элемента произошел в момент т.
Вероятность Q'Jt) можно записать в |
виде |
|
t |
|
|
Q(t) = 2 Jа(т) Р(т)ф(т, |
t — т) dr. |
(5.131) |
о |
|
|
203
С другой стороны, эту вероятность можно записать как вероятность суммы следующих несовместных событий:
— элемент 1 или 2 отказал в момент т <* t, оставшийся исправ ным — в момент т <: 0 <: t, отказавший в момент т элемент до мо
мента 0 восстановлен не был; |
|||
— элемент 1 |
или |
2 отказал в момент т < t, был восстановлен |
|
до момента |
т < |
0 < |
t, оставшийся исправным элемент отказал |
в момент 0 < |
е < t, |
отказавший в момент т элемент был исправен |
|
в промежутке (0, е), но до момента t система имела отказ; |
|||
— элемент 1 |
или |
2 отказал в момент т <J t, был восстановлен |
|
до момента т < |
0 < |
t и вновь отказал в момент 0 <3 е <; t, второй |
|
элемент был исправен до момента е, но до момента t система имела
отказ, т. |
е. |
t |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q (0 = |
2 1 а (т) J а (0) (1 — R (т, 0 — т) d0 |
dx 4“Г |
|
||
I |
I I |
О |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 | а (т) 11 R (т, 0 — т) j а (е) Р (е — 0) ip(е, t — е) de de ldr - |
||||||
о |
U |
|
L0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
J a (e —0) P. (e)op(s, t — s) de |
dQldx. |
(5.132) |
|
0 |
U |
|
L9' |
|
J ) |
|
Приравнивая |
правые |
части в |
(5.131) и (5.132), |
получаем |
урав |
|
нение для |
определения |
неизвестной функции ф (т, |
t -— %)•. |
|
||
| а (т) IР (т) ф (т, t — т) — | |
а (0) (1 —R (т, 0 — т) d%— |
|
||||
о |
( |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
г t |
|
|
|
|
|
|
\ а (е) Р (е — 0) ф (е, t — е) de 4~ |
|
||
|
+ Jа (е — 0) Р (е) ф (е, |
t — е)de dQ\dx = 0. |
(5.133) |
|||
Теперь, |
подставляя |
величину |
ф (т, t — т), определенную из |
|||
(5.133), в (5.131), можно найти и искомую вероятность Q (t), а сле довательно, и Р (t).
Пусть теперь элементы 1 и 2 неравнонадежны. Введем обозначе ния:
Q(1) (t), Q<2>(t) — вероятности отказа системы за время t, если первым отказал элемент 1, 2 соответственно;
фх (т, t — т), ф2 (т, t — т) — вероятности отказа системы в про межутке (т, t), если в момент х отка зал элемент 1, 2 соответственно.
В этих обозначениях величину Q (t) можно записать в виде
Q(0 = Q(I)(0 + Q<2)(0.
204