Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
Анализ зависимостей (5.140) показывает, что при данной схеме резервирования в сравнении с двумя последовательно соединенными элементами
|
Qcl |
(t) |
= |
Л ^ с з |
(t), |
|
|
которое |
можно переписать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
Q c x |
(t) |
= |
A Q C3 (t). |
|
(5.142) |
|
Можно |
показать также, что |
максимального |
значения |
величина |
|||
|
|
, |
т 4- п |
|
|
|
|
АРс3 (t) |
достигает при М = |
1 л 2п~ |
случае, |
когда |
= Х3 = к |
||
— ------ в |
|||||||
Определим теперь частоту отказов резервированной системы. Дифференцируя (5.140), окончательно получаем:
|
|
«со (0 = (К + |
К) ег |
|
|
|
flei (0 |
=-- г - Ч - К**+ |
К) ег <*■+*,) * - ( К + *з) er <*»+*•> *]+ |
||||
+ |
Т гЧ г [(^ + * |
» ) (и+Яз> ‘ - (^1 + Лз) в - ( W ) |
*1; |
(5.143) |
||
«сз (0 = (К + |
У ег <*»+*•> <+ |
1(^1 + *з) е- |
*- |
|||
- |
(12+ Ях) е~ <*■+*«> Ц+ |
[(А* + h ) е~ <я-+я’>/ _ |
|
|||
|
|
— (Х2+ Я3) ег <*■»+*•»>']. |
|
|
||
Если все три механизма равнонадежны, т. е. если Ях = |
Я2 |
= Я3 ;= |
||||
= %, то из (5.141) |
найдем: |
|
|
|
||
|
|
|
ас0 (0 = |
2Яе-ш ; |
|
|
|
|
ас1(0 = 2Ле-а«(1 — 2W); |
|
(5.144) |
||
|
|
|
ac3(t) =Л%Це~~т . |
|
|
|
Можно показать, что и для частоты отказов справедливо равенство
AacS(t) = acl(i)- |
(5.145) |
Найдем среднее время работы резервированной системы до отказа.
Подставив выражения для |
Рсо (0 |
и Рсз (0 из |
(5.140) в (3.8), |
|
окончательно получим |
|
|
|
|
Тс3 = |
Хх4 ” ^2 "Е |
“Ь 2ХД2 |
2А.3Х2 ~г |
(5.146) |
(Л-1 Н~ h ) (М Н" ^2) (^2 “Ь Л-з) |
|
|||
|
|
|||
210
Если все три элемента равнонадежны, т. е. если %х |
= %2 = %3 = X |
|
то из (5.146) |
|
|
Т |
— — • |
|
|
с0 ~ 2Я ’ |
|
Т * = х - |
(5-147) |
|
Из (5.147) следует, что среднее время до отказа третьей группы резервированной системы равно этой же величине для одного нере зервированного элемента.
Определим теперь среднее время пребывания системы в состоянии
отказа первой группы Тс1. Для этого найдем функцию распределения времени нахождения системы в этом состоянии. Аналогично рас смотренным ранее схемам будем иметь
' . ОЭ Т - Н
F(t) = P {T cl< t ) = |
J |
j % (т) а3(0 — т) Р3(т) Р2(0 — т) dQ dx -j- |
|
|
|
О |
т |
+ |
[ } |
ах(т) Ps (0) а2(0 — т) dQ dx + |
|
б |
Т |
|
|
со Т-М'
+ { } « 3 (т) ах(0 — т) Рг (т) Р2(0 — т) dQ dx +
со т-Н
-f- | j а3(х) Рх (0) а2 (0 — т) dQ dx.
О %
Выполнив интегрирование, окончательно получим
F(t) = |
XlX2 |
|
£\ — g—(Яг+Яз) |
|
(Х3-f-Х2)(Яг+ Х3) |
||||
|
____ТдТ-з |
[1 — Q—{Я2+Я1 ) „|_ |
||
(7-1+ Х2)(^-1+ Х3) |
||||
|
|
|||
^ (я3 + y i + Я з ) [1 |
е а2+я,И] + |
|||
ХдХ2
Н- (Xi + Ю (^1 + Х3)
----- 0 ~ (Я 2 + Я 1 ) t
Таким образом, среднее время пребывания системы в состоянии отказа первой группы определится из выражения
гр _ Г f /1F(A _ |
X; + Х ^ + Х2Я3 Х3 |
(5.148) |
|
cl J |
(Xi+ Х3)(Хх-f-К2) (\2 К3) |
||
|
о
14* |
211 |
Выигрыш по среднему времени безотказной работы относительно отказов третьей группы по сравнению с двумя последовательно соединенными элементами в соответствии с (5.146) будет
АТ _ т |
|
'Г _ |
*4 ~ ^ 2 + ^2^3+ ^3 |
(5.149) |
|
с3 |
сз |
со- |
■(Х1+ Хв)(Х1+ Х8)(Х,+ Л,) |
||
|
|||||
Сравнивая (5.148) |
и (5.149), |
находим |
|
||
АГСЗ = Пci-
Характеристики надежности с учетом восстановления* Пусть элементы /, 2 и 3 равнонадежны (Хх = Х2 = Х3 = Я) и имеют оди наковую интенсивность восстановления р. Тогда уравнения, описы вающие работу системы, имеют вид:
Qco(0 = 2kQco (t) -f- pQci (t)',
Qci (t) = — (2Я -j- p) Qci(0 + 2XQc0 (/) -)- 2pQC3 (t); |
(5.150) |
Qc3 (0 = — 2pQC3(^) -)- 2XQci (£).
Решая систему (5.150), получаем искомые вероятности:
|
QC3 (0 |
4X2 |
4Х2 (beA t |
■ае•bt). |
|
|
|
ab |
ab (a — b) ’ |
|
|||
|
|
|
|
|||
Qa (0 |
4Xp |
_|_ 4Xp (befit |
■аеьО |
2X (abeat ■abebt) |
(5.151) |
|
ab |
|
ab (a — b) |
ab (a — b) |
|||
|
|
|
||||
««•(') = ж |
|
2p2 ( ^ |
aebt) , (3p -f- 2X) (abeat — abebt) . |
|||
|
ab (a -r- 6) |
^ |
a& (a — 6) |
' |
||
, a2beat — Ьгаеы
'ab(a — b)
Здесь ’
„ |
u __ |
_ 3p -f- 4X |
V -f. 8Xp |
a |
’ ° - |
~ ~ 2 |
± ----2--- |
Изменение величин QC(- (i — 0, 1, 3), определяемых выражениями (5.151), в зависимое™ от времени показано на рис. 54, из которого
видно, что величины Qci (t) уже через 400—450 ч отличаются от своих предельных значений менее чем на 5%, т. е. в практических расчетах можно принимать во внимание лишь эти значения. Последние, в соот ветствии с (5.151), имеют вид:
О |
- |
1x2 |
|
Vc0 |
— 2Х2 + 2Хр + р2 * |
|
|
^ с1 = |
2Ха + 2Хр - f р2 > |
( 5 .1 5 2 ) |
|
— |
|
2Я,2 |
|
^ с3 = 2р+2Хр + р2 • |
|
||
212
ОВсо
Сравнивая стационарные значения указанных вероятностей с таковыми для двух последовательно включенных элементов из
(5.12) и (5.152), найдем, что
Qci — AQco -j- AQC3-
Найдем теперь вероятность нахождения системы в момент вре мени t впервые в состоянии отказа третьей группы. Уравнения, описывающие работу системы, когда такое состояние является по глощающим, имеют вид
|
QcO (t) — |
|
2XQc0(t) -j- p.Qci (t)\ |
|
||
Qci (t) = |
|
ц) Qd (0 + |
2AQc0 (0; |
(5.153) |
||
|
Qc3(t) = 2AQci (t). |
|
|
|||
Решив систему |
(5.153), найдем: |
|
№ |
|
||
|
Qc3 {t) = |
1 |
4X2 (beat |
|
|
|
|
ab (b — a) |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
5 „ (0 = |
|
? y ^ |
abebt) |
|
|
|
|
|
ab(a — b) |
|
|
|
QcO (t) = |
(2Х + Ц) (abeat — abebt) |
+ |
a*beat - b2aebt |
|
||
|
ab (a — b) |
|
ab (a — b) |
|
||
Отсюда вероятность безотказной работы резервированной си стемы относительно отказов третьей группы с учетом восстановления ее элементов будет
P(t) = l — Qc3 (0 |
4к2 (beat - |
aebt) |
(5.154) |
|
ab (a — b) |
||||
|
|
|||
Среднее время до наступления в первый раз отказа третьей группы определится равенством
СО |
|
T = j F 8(f)d/ = J L + J £ _ . |
(5.i 55) |
о
Основные количественные характеристики надежности рас сматриваемой схемы приведены в табл. 19.
Пусть теперь время работы до отказа и продолжительность вос становления элементов резервированной системы распределено про извольно. Так же как и ранее, найдем вероятность безотказной ра боты относительно отказов третьей группы с учетом восстановления.
Обозначим через Р (t) вероятность отсутствия отказа системы за время t, если отказ одного из элементов наступил в момент т. Тогда имеет место равенство
t |
(5.156) |
Р (0 =Р* (*) +2 jа (х)Р(х) ф (т,t — х). |
о
214