Файл: Смирнов, О. Р. Надежность судовых энергетических установок.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тем, что в данном случае не учитывался эффект восстановления. Из рис. 55 следует также, что имеется отрезок времени, когда ве­ роятность безотказной работы относительно отказов первой группы резервированной системы меньше, чем вероятность безотказной

работы нерезервированного элемента.

 

(5.163),

будем

Если

= 2%, то, раскрывая неопределенности в

иметь:

Рео® = е- 2«;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pcl{t) =

1 — 2Ue~2u-

 

 

 

 

 

limPc2(^) =

1 —K2t2e~2KU,

 

 

(5.165)

 

lim PcS (t) = e-2u (1+ 2M + 2%42).

 

 

 

 

Последнее выражение из (5.165) говорит о том, что при

 

= 2Л,

скользящий резерв эквивалентен

схеме

замещения с рабочим эле­

 

 

 

ментом,

имеющим

интенсивность

 

 

 

отказов 2Л, и двумя

такими же

 

 

 

резервными элементами.

полу­

 

 

 

При

%-у —>оо из

(5.163)

 

 

 

чим:

/>со (t) = е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рс1 (t) = 1 — 2Uer*H\

 

 

 

 

 

 

Рс*® = 1;

 

(5-166)

 

 

 

Pc3(t) = e~2^ ( l + 2 l t ) .

 

 

 

 

В этом случае

отказа

второй

того, (5.166) эквивалентно (5.101)

группы не происходит, и,

кроме

с заменой Р с2 (t) на Рс1 (t),

т. е.

случаю постоянно включенного резерва при %' =

2%.

Как

было

показано,

величина %' = 2%

является

наибольшей,

при которой

постоянно

включенный резерв

дает выигрыш по Гс3 в

сравнении

с нерезервированным элементом. Таким образом, при резервировании по данной схеме скользящего резерва этот выигрыш обеспечен при любом конечном значении

Однако даже при ^ — > 0 0 рассматриваемая схема резервирования дает преимущество перед постоянно включенным резервом при про­ чих равных условиях, так как здесь надежность резервированной системы повышается за счет замены отказов третьей группы отка­ зами первой группы, в то время как при постоянно включенном резерве отказы третьей группы заменяются отказами второй группы.

Анализ зависимостей (5.163) показывает, что Для данной схемы

резервирования справедливо соотношение

 

 

Qcl (t) + Qc2 (0 = АРсз (0 +

APC0(t).

(5.167)

Выражение (5.167) можно переписать следующим образом:

Qcl (0 + Qc2 (t) = AQC3 (t) +

AQeo (*)•

(5.168)

220

При —>оо, Qc 2 —>0 формула (5.167) имеет

вид

Qcl(t) = APc3(t) + APc0(t),

(5.169)

что в силу (5.104) еще раз подтверждает выводы, сделанные при сравнении скользящего и постоянно включенного резерва.

Зависимости, аналогичные (5.168), т. е. выражения, количественно связывающие отказы всех трех групп, были получены и для ранее рассмотренных схем резервирования. Нетрудно видеть, что равен­ ство (5.168) является наиболее общим из них. Действительно, по­ лагая в (5.168) AQc0 (t) = Qcl (t) = 0, будем иметь согласно (5.41) случай резервирования замещением или ранее рассмотренную схему скользящего резерва; при Qcl (t) = 0 в силу (5.105) имеем случай

постоянно включенного

резерва.

 

 

 

 

 

Найдем теперь частоту отказов резервированной системы. Исполь­

зуя равенства

(5.163) и (3.5), окончательно получаем:

 

 

 

 

 

ac0(t) = 2 U-™-

 

 

 

 

 

acl(t) = 2Xe-2U{\ — 2Xt);

 

 

 

ас2 (t) = 4

Я У 2Ц(1

■2U) , 2VV-т

 

 

(5.170)

 

— 2Л,

1 (Яг 2Я)2

(Яг ■ • 2A)2J ’

 

 

 

 

ас3 (/) = 4Ше~ш

 

X2e-2%t (1 ■-2U)

2к3е~ш

ГЯ^' t

 

 

Ях -

21

+' (Aj. - 2А)2

(Лх — 2Я)2

В случае,

когда

Ях = Я, из (5.170) найдем:

 

 

 

 

 

асо(t) = 2Ke~^t-

 

 

 

 

 

ас1(0 =

2Ящ-2«(1 — 2Я0;

 

 

(5.171)

 

ас2(t) =

4Я [е-2« (1 +

Ш) — e~w];

 

 

 

ас3 (/) =

4Я [е-« — e~2U(1 +

Я/)].

 

 

Если Я* =

2Я,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ас0(*) =

2Яе-2«;

 

 

 

 

 

ал (0 =

2Яе-2«(1 _ 2 Я /);

 

 

(5.172)

 

 

ас2 (0

= 2X4 (1 — Я0;

 

 

 

 

 

 

ас3 (t) =

4Я3^2е-2м.

 

 

 

При Ях —>оо

 

 

асо(0 = 2Яе-2«;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ас1(0 =

2Яе-2«(1 — 2Я0;

 

 

(5.173)

 

 

ас3(0 =

2Яе-2^(1

+2Я/).

 

 

Найдем теперь среднее время безотказной работы резервирован­ ной системы. Так же как и в случае резервирования при постоянно включенном резерве, сравним среднее время безотказной работы резервированной системы и нерезервированного элемента.

221

Пусть нерезервированный элемент отказал в случайный момент

времени т (рис. 56), а один из

рабочих

элементов — в момент

Оставшийся рабочий элемент

или резервный отказал в момент

т < 0 и, наконец, оставшийся

элемент

отказал в момент 0 < е.

Таким образом, среднее время безотказной работы резервированной системы Тс0 равно х 1. Среднее время пребывания системы в состоянии

отказа первой группы Гс1 равно 0 — т. Среднее время пребывания системы в состоянии отказа второй группы Тс2 равно е — 0, и сред­

нее время безотказной

работы

относительно

отказов

третьей

 

группы Тс3 равно е.

Из рис.

56 следует,

что

 

в результате

резервирования

среднее время

 

безотказной работы по сравнению с нерезер­

 

вированным элементом уменьшилось на

ве­

 

личину ДГс0 = т — т^. Среднее время безот­

 

казной работы относительно отказов

третьей

 

группы

увеличилось

на

величину

АТс3 =

 

=

е — т

и,

кроме того,

из

рис. 56 следует

 

также, что

 

 

 

 

 

 

Рис. 56. Диаграмма

мо­

 

А?’сз 4" ЬТс0 — Тс1-)- Т,С2*

(5.174)

ментов возникновения

от­

Найдем каждую из приведенных в (5.174)

казов.

 

величин.

Интегрируя первое и последнее из равенств (5.163), оконча­

тельно получаем

~

1

 

 

(5.17.5)

 

СО '

21 ’

 

Xf —

з м | +

4Х3

СЗ

ХхХ (Х1 — 2Х)2

 

Для определения Гс1 найдем функцию распределения F (t) времени работы двух элементов при отказавшем третьем, т. е.

Р \ Тс1 < t\. Эта вероятность есть вероятность события, заклю­ чающегося в отказе одного из рабочих элементов в момент т и отказе резервного или второго рабочего элемента в промежутке (т, т + t), т. е.

 

со Т - И

 

 

F (/) =

Р {Tci < t) = 4 J | а (г) а (в — т)Р (0)dQ dx = 1

о—2Xt

Таким

образом,

 

 

 

00

 

 

 

Тс1= \td F (t)

= ± .

(5.176)

 

о

 

 

Аналогичным приемом вычислив

Тс2, получим

 

 

 

 

(5.177)

222

Таким образом,

 

Х\ — ЗЩ + 4Х3

_ 1_

(5.178)

сЗ — ^ сЗ ‘ - Т = х1х ( х 1- г х )2

X X1 ;

 

Д7\.„ =

Т - Т со___1____ i_

1

 

 

X 2Х

~2Х

 

Теперь из (5.176)—(5.178) нетрудно убедиться в справедливости

(5.174).

Из второго равенства (5.175) найдем:

при А2 == A

Tc3

=

 

'i

 

 

 

 

при Ax — >2A

Tc3 -

*

3

(5.179)

2X '

 

 

 

 

 

при A^--»

0 0

Tc3

- *

1

 

X '

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если при отказе двух элементов режим работы третьего не изменяется, то относительно величины Тс3 данная схема резервирования эквивалентна в силу (5.50) схеме резервирования

замещением при Х1 = А2 = К.

При

= 2А данная схема скользя­

щего резерва

эквивалентна

постоянно включенному

резерву

при А' = А и,

наконец, при Ах —» оо величина Тс3 равна

среднему

времени безотказной работы

нерезервированного элемента.

Если в качестве критерия при сравнении взять не Тс3, а вероят­ ность безотказной работы относительно отказов третьей группы Рсз (t), то в соответствии с (5.163) имеется промежуток времени ра­

боты резервированной системы, после которого величина

Рс3 (t)

меньше той же величины для нерезервированного элемента.

Кроме

того, в силу последних равенств в (5.38) и (5.165) при t >

вели-

чина Рс3 (t) для резервирования по рассматриваемой схеме сколь­ зящего резерва меньше этой же величины для резервирования за­ мещением, т. е. из вышеуказанного видно, что различные количе­ ственные характеристики надежности резервированной системы по-разному ведут себя в сравнении с теми же величинами для нере­ зервированного элемента или при сравнении их в различных схемах резервирования.

Характеристики надежности с учетом восстановления* Уравне­ ния, описывающие работу резервированной системы с учетом вос­ становления, имеют вид:

Qco {t) — - 2AQco(t)-J-pQci (t)\

Qci (0 ■ (2A -|- p) Qcl (t) -j- 2AQco (t) -\- 2pQC2 (t)\

(5.180)

Qi2{t)- (2p -|- Ai) Qc1 (t) -\- 2AQci (t) -f- 3pQc3 (^);

Qc3(0 = 3pQc3 (t) -f- AiQC2 (t).

223

Смотрите также файлы