Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 1
нения (2.63) уравнение (2.64), получим систему уравнений для цен трированных составляющих
Y k = t a k i ( t ) Y ° t + bk (f)Vl(f). |
(2.65) |
i=l |
|
(k = 1, . . ., п)
Целью дальнейших преобразований является получение уравне
ний для корреляционных моментов 01у- (/) = М [У?Ц) У/ (/)] на основании уравнений (2.65). Для этого вычислим производные по времени от 0У/ (t). Учитывая, что операция математического ожида ния по ансамблю случайных переменных и дифференцирования по времени линейны и независимы, получим
0// = М [У°У?] + М [У?УЛ
(»•,/= 1, |
(2.66) |
Подставляя в выражение (2.66) производные У? из уравнений
(2.65), получим
0|/ = J [а,Л / + а/Л/1'4- bj (t) М [У? (О У° (0] +
+bi (t)M[Y°i (t)VHt)\.
(/, / = 1, . . ., /г)
Вычислим |
корреляционные |
моменты |
М [У? (/) У/ (t)], |
М [У/ (1) V°c (/)]. С этой целью воспользуемся формулой (1.38) и выразим выходные переменные У° (/) через входные функции V° (I)
ввиде следующего выражения через весовые функции системы (2.65):
пt
= S |
l |
ёиг (t, |
т) Ън(т) Vh ( Т) dt, |
(2.67) |
Л = 1 |
о |
|
|
|
|
(i |
= 1, |
. . ., /г) |
|
где gitl (t, т) — весовые функции линейной системы (2.65).
Умножив правую и левую части выражения (2.67) на У° (/) и при менив операцию математического ожидания, получим
пt
М [У,- (0 У° (0] = 2 J gih (t, Т ) Ьн (т) М [V°j (t) V°i, (т)] dr. (2.68)
fc = 1 о
(i, j = 1, . . ., /г)
Случайные функции V/ (/) по предположению являются белыми гауссовыми шумами. Для их взаимных моментов справедливы выра жения
М [V°i (I) Vh(т)] = Gjh (l) 6 (t - |
т), |
(2.69) |
(/, / г = 1 , . . . , п) |
|
|
где Gjh (/) — взаимные интенсивности белых |
шумов. |
|
63
Подставив выражение (2.69) в формулу (2.68), получим |
|
|||||
|
« |
< |
|
|
|
|
М [Г? (О V°i (0] |
= £ |
Gih(t) J |
gu, (t, т) b„( t ) 6 (/ - |
t) dx. |
(2.70) |
|
|
Л=1 |
о |
|
|
|
|
|
(t, |
j = 1, |
. • ., я) |
|
|
|
Весовая функция |
g.;i (/) |
физически возможной |
системы |
терпит |
||
разрыв первого рода в точке т = t. |
Имея при т > t |
значение, |
равное |
|||
нулю, она при х — t |
изменяется скачком до glh (t, t). |
Вследствие |
||||
того, что функция 6 (t — т) симметрична (см. п. 1.5), при вычислении интегралов, входящих в выражение (2.70), следует учитывать только 1/2 6-импульса в точке т = /, как показано на рис. 2.5. Используя свойство 6-функции (1.19), (1.20), (1.21) и произведя интегрирование в формулах (2.70) с учетом высказанного выше замечания о разрыв ности функций gih (/, т) в точке т = /, из выражения (2.70) получаем
|
м |
[ к ?0(У /°(0 ] = 4 - |
£ |
|
аС(/0 М |
0 £ »а (*. |
0 - |
|
2-71) |
||||||
|
|
|
|
z |
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/, |
j — 1, |
• • |
ч h) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Весовые |
функции |
системы |
(2.65) |
имеют |
следующее |
свойство: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
1, |
h = |
i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§Ui (*. 0 = |
\ |
о, |
/г ф i. |
|
|
|
|
|
|
|||
В результате выражение (2.71) можно привести к виду |
|||||||||||||||
|
|
М [К? (/) У®(/)] |
= |
у Gji (() bi (/). |
|
|
(2.72) |
||||||||
|
|
|
(i, |
j = |
l, |
|
п) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражение |
(2.72) |
в уравнения (2.66) и учитывая, |
||||||||||||
что Gu (I) = |
Gi;- (/), получим искомую систему уравнений для кор |
||||||||||||||
g(t,V |
|
|
|
|
|
реляционных |
|
моментов |
перемен |
||||||
|
|
|
|
|
ных |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
б,-/ = S |
|
[«,-А / + «/АЛ + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г=1 |
|
О |
М |
О 0 G- , /2((.73) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
М |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(i, ; = 1 , . . . , n). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует учитывать, что в урав |
|||||||
|
|
|
6- |
|
|
нениях |
(2.73) |
б,-/ = |
0/,-, |
поэтому |
|||||
|
|
|
|
|
|
число |
независимых |
уравнений |
|||||||
|
|
|
|
|
|
т — 0,5п (п + |
1), где п — порядок |
||||||||
|
|
|
|
|
|
исходной |
системы |
уравнений. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Уравнения (2.73) |
следует интегри- |
||||||||
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r<t |
|
T -t |
T>t |
|
£ |
|
|
Рнс. |
2.5. |
Симметрия |
6-функцни |
||||
64
ровать-при заданных начальных условиях t = О, 01У- (0), i, / = 1, . . После интегрирования системы линейных дифференциальных урав нений (2.64) и (2.73) определяют математические ожидания, диспер сии и корреляционные моменты связи всех переменных системы как функции времени t.
Если исследуемая система и белые шумы на ее входах стацио нарны, то для определения установившихся значений математиче ских ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов всех пере
менных в уравнениях (2.64), (2.73) следует положить ту. = 0,
0(V- = 0. Тогда искомые величины определяют из системы алгебраи ческих уравнений
П
|
Е a |
i r > n U r = |
|
|
|
г=\ |
|
(2.74) |
|
Е |
А / + a/Ai] |
|||
|
||||
г=1 |
(»', |
/ = 1, |
., п ) . |
|
|
||||
Точность системы по любой из переменных оценивают по форму лам (2.2), если задан полезный неслучайный сигнал на входе и соот ветствующий желаемый выходной сигнал для рассматриваемого выхода.
Изложенный метод анализа пригоден также, когда входные сиг налы Vk (0 представляют собой линейные многочлены со случай ными параметрами [34]. Процедура получения уравнений для кор реляционных моментов переменных сохраняется. При этом увеличи вается число уравнений для корреляционных моментов на nN, где п — число переменных системы; N — число случайных параметров во входных сигналах. Исходные уравнения динамической нестацио нарной системы в этом случае должны быть записаны в следующем виде:
ПЛ'(
у, = Еа,Г (0 А + |
Е vlkuik U) + Ь( (0 V{(0, |
(2.75) |
Г = 1 |
& = 1 |
|
(i = |
1.........п) |
|
где uik (/) — неслучайные координатные функции времени, |
F,* — |
|
постоянные случайные коэффициенты, имеющие равные нулю мате матические ожидания и корреляционные моменты связи рД =
= М \VikVjr\, Vt (t) — нормально распределенные белые шумы, имеющие математические ожидания mVi (t) и корреляционные мо
менты связи Gij (/) — М [V°i (t) Vj (/)]. Для простоты будем считать, что У. (i) и V!k не связаны.
В частном случае многочлен со случайными параметрами может быть каноническим разложением случайной функции. Применяя к уравнениям (2.75) операцию математического ожидания, получаем уравнения (2.64) для определения математических ожиданий пере-
5 В. С. Пугачев |
65 |
менных. Вычитая почленно из уравнений (2.75) уравнения (2.64), получим систему уравнений для центрированных составляющих:
п |
Ni |
YikUik it) + bt (i) V° (t). |
(2.76) |
Y°t = S atr (l) Y°r -f |
S |
||
Г =1 |
* = 1 |
|
|
(i = |
1, |
. . n). |
|
Применяя изложенную выше процедуру для корреляционных
моментов, получаем следующие уравнения: |
|
|||||
6;/ = |
[a-ir (О |
+ air (0 Sir! + |
(t) bj (t) Gn-(i) -f- |
|
||
|
|
r= l |
|
|
|
|
|
|
A'i |
|
Л';- |
|
|
|
|
+ S |
« i v M v+ |
s « /v (0 ^ v. |
(2-77) |
|
|
|
\ '= 1 |
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
(i, / = 1, |
. . ., |
n) |
|
где 0‘v (/) = |
Л4 |
[У/ (/) y,-v] — моменты связи переменных Y° |
(t) со |
|||
случайными |
коэффициентами. |
|
|
|
||
Для моментов 0}v (t) составляют дополнительные уравнения пу тем умножения уравнений (2.76) на KlV и применения операции математического ожидания:
п"i
|
GГ = |
Ъ ajr (t) 0‘v + |
S |
ц!^ /р(0- |
(2-78) |
|
|
|
r = 1 |
|
р = 1 |
" |
|
|
(/, t |
= 1, . |
. ., n, V = |
1, . . ., N). |
|
|
Число |
уравнений |
(2.78) |
равно |
n (Nг + • • • + Nn). |
Уравне |
|
ния (2.78) |
следует интегрировать при нулевых начальных условиях. |
|||||
Пример 2.3. Определить дисперсии на выходе системы, имеющей дифферен циальное уравнение
Y = —aY + V,
где а = const, V (/) — стационарный белый шум с нулевым математическим ожида нием и интенсивностью G = 2nS0. Начальное значение переменной Y при t = О является случайной величиной с дисперсией DUq и математическим ожиданием,
равным нулю.
Уравнение для дисперсии Dy в данном случае имеет вид
Ьу — — 2aDy + G.
Запишем решение этого уравнения:
Du = Dyir |
2at + 4 (1_е_гв,)- |
В установившемся режиме при |
t -> оо |
66
Пример 2.4. Дифференциальное уравнение одномерной системы имеет вид
У = —а У + а Х ,
где X (/) — стационарная случайная функция, имеющая математическое ожидание
тх — const п спектральную плотность |
вида |
Sx (со) = |
р |
*' ' |
я РЧ-со2 • |
Необходимо определить ту, Dy.
В данном случае предварительно приводят исходное уравнение к системе с бе лым шумом в правой части. Для этого воспользуемся тем обстоятельством, что спек тральная плотность па выходе стационарной линейной системы с передаточной функ цией Ф (s), на вход которой подан белый шум с единичной спектральной плотностью, имеет вид [20, 56]
S x (со) = Ф (/со) Ф (—/со).
С другой стороны, спектральная плотность как дробно-рациональная функция частоты со
Н (/со) |
Н (— /со) |
|
Sx (ш )= F (/со) |
F ( — /со) |
’ |
где Н (s), F (s) — полиномы, имеющие корми в левой полуплоскости комплексной переменной s. Приравняв правые части выражений для S x (со), получим формулу для передаточной функции формирующего фильтра:
Ф(5) = |
ш . |
|
F (s) ■ |
Представим в данном случае дробно-рациональную функцию в следующем виде:
х ^ ^ У Я Р + /со У Я Р — /со
Следовательно, передаточная функция фильтра, формирующего X (/) из бе лого шума с интенсивностью 0 = 2я,
Таким образом, исходное уравнение заменим системой |
|
У = —аУ + аХ\ Х° = —РХ° + |
V0, |
где V0 (/) — белый стационарный шум с единичной спектральной плотностью S v = 1. Применяя к этой системе операцию математического ожидания, получим урав
нение для |
математического ожидания |
|
|
|
ту = —ату + атх\ |
тх = const. |
|
Для корреляционных моментов получаем |
уравнения |
||
|
%у = — 2аву[/ + |
2адух, |
|
|
/х = — (а + |
Р)®ух + aD0, |
|
где учтено, |
что 0,vv — D0. |
|
|
Исключая из этих уравнений корреляционный момент 0 ^ , получим одно урав |
|||
нение для |
Qyy: |
|
|
|
(Р + 2о) (р + а + |
Р) 0уу = 2a-D0. |
|
3 |
|
|
67 |