Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 1
При интегрировании |
уравнений |
примем следующие начальные |
условия: |
|||
t = 0, тв (0) = mUo, Qyy (0) = DVo, вух (0) = |
0. |
|
|
|||
Решения уравнений |
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
,Пц (/) = |
(тУо — /Ид) е al + тх\ |
|
|||
0уу (0 = Пе-2а/ + с2е-<а+'3) ‘ |
oD0 |
|
||||
р ! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
Р Уо (а |
|3) — aD0 |
|
^ |
[ОУ0 (о-|-Р) — oD0] 2а |
|
|
Cl ~ |
Ра— |
’ |
С'2 ~ |
|
а + Р |
п — Р ' |
При t -> оо в установившемся режиме из последних формул получаем
ту (оо) = т Dу (оо) — Qyy (оо) — аРо
о + Р
Рассматриваемый метод можно применить также к определению корреляционных функций фазовых координат системы в неустановившихся режимах. При этом получаем уравнения в частных про изводных [28, 56]. Чтобы получить эти уравнения, продифферен цируем выражение для корреляционных функций фазовых коорди нат системы по первому аргументу i, считая V фиксированным пара метром:
дКУ;У1{(, i ) _ |
м |уо ^ |
у(о> |
_ |
(2.79) |
(i, 1=1, . . ., |
п). |
|
|
|
Так как корреляционные |
функции |
КУ[У1 |
(t, t') |
симметричны |
относительно оси t' = t, рассмотрим только случай t )> t'. Пусть поведение системы характеризуется уравнением (2.65). Подставляя из выражения (2.65) в формулу (2.79) значения производных, по лучим
У' ^ ) = |
и |
|
|
it |
|
||
аи (I) КЩУ1 (t, t') + |
bt (I) j 2 |
§iPV , t) bp (i) Glp(/). |
|||||
dt |
|
/ = 1 |
|
|
p = |
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(i, |
|
n). |
|
|
В полученных уравнениях при t |
)> t' вторые суммы исчезают, |
||||||
так как |
glp ((', |
i) = 0. Поэтому для |
определения |
корреляционных |
|||
функций |
КУШ1 (t, t') в |
области t > t' получаем уравнения |
|||||
|
|
Мур, |
(/, П |
.Е % |
(0 Кщт (*. П- |
(2.80) |
|
|
|
dt |
|||||
|
|
|
(/, |
1 = 1 , . . . , п) |
|
|
|
68
Начальные условия при интегрировании этих уравнений следует принять в следующей форме:
W * ' . О = 0,1 (О-
(i, I = 1, . . п)
Эти функции являются корреляционными моментами и диспер сиями фазовых координат, и их определяют путем интегрирования уравнений (2.73).
Таким образом, алгоритм определения корреляционных функций фазовых координат линейной многомерной системы состоит в одно кратном интегрировании системы уравнений (2.73) и многократном интегрировании системы (2.80) при фиксированных значениях вто рого аргумента V : /{, fa, . . . В результате получим ряд сечений корреляционных функций, параллельных оси t и расположенных в области t >• i'.
Г л а в а 3 |
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ |
3.1. Входные сигналы
Характерной особенностью работы сложных автоматических систем является использование предельных режимов. Максимальные или минимальные значения скоростей и ускорений, температур и давле ний, токов и напряжений, времени работы и уровней полезных вход ных сигналов — таков далеко не полный перечень условий, при ко торых роль случайных факторов становится все более заметной и су щественной. Отсюда следует, что общей моделью входных сигналов, описывающих действующие возмущения, является случайная функ ция. В частном случае, когда роль случайных факторов становится пренебрежимо малой, входные сигналы можно рассматривать как детерминированные (неслучайные) функции.
Все многообразие входных сигналов можно разделить на полез ные сигналы и помехи. Полезные сигналы — это такие сигналы, пре образование которых является задачей автоматической системы. По мехи — это мешающие сигналы. Влияние помех проявляется в воз никновении случайных сил и моментов в механических системах и случайных токов и напряжений в электронных системах. Различают внешние и внутренние помехи. Примерами внешних помех могут служить турбулентность атмосферы, приводящая к болтанке лета тельного аппарата, шумы в радиоприемном устройстве, обусловлен ные физическими условиями распространения и отражения электро магнитных волн. Внутренние помехи возникают от флуктуаций но сителей заряда в элементах электронных схем (лампах, резисторах и т. п.), от трения в механических соединениях и на границах раз личных сред.
Разделение входных сигналов на полезные и помехи является условным и зависит от решаемой задачи. Например, с точки зрения общего движения летательного аппарата или пассажира влияние турбулентности атмосферы рассматривается как помеха. С точки зрения системы стабилизации летательного аппарата относительно центра массы турбулентность атмосферы рассматривается как полез ный сигнал, на который система стабилизации должна вырабатывать компенсирующий сигнал в виде поворота рулей. Отклонение рулей создает моменты, парирующйе моменты от турбулентности атмосферы. С точки зрения работы системы стабилизации помехами будут все возможные ошибки измерения фактического положения летатель ного аппарата.
70
Входной сигнал в общем случае представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала и помехи. Математически это записы вается в виде функциональной зависимости
|
X (/) = (р (S |
(О, N (0). |
(3-1) |
|
где X (0 — входной |
сигнал, |
ср (•) — нелинейная |
функция полез |
|
ного сигнала S (/) |
и помехи |
N |
(t). |
|
Наиболее часто встречаются аддитивная, мультипликативная и смешанная комбинации сигнала и помехи. При аддитивной комби
нации полезный сигнал и помеха складываются: |
|
||
X (t) |
= S (I) + N |
(I). |
(3.2) |
Аддитивность сигналов |
обусловлена |
независимостью источников |
|
полезного сигнала и помехи.
Мультипликативная комбинация означает перемножение полез-,
ного сигнала и помехи: |
|
X (0 = S (() Z (t), |
(3.3) |
где Z (t) — мультипликативная помеха. Мультипликация сигналов возникает при прохождении полезного сигнала через флуктуирую щую среду.
Смешанная комбинация сигнала и помехи включает аддитивную и мультипликативную помехи, т. е.
X (/) = 5 (0 Z(t) + N (t). |
(3.4) |
Часто встречается другое представление для смешанной комби нации
X (/) = 5 (0 [1 + Z(l)} + N (t). |
(3.5) |
Кроме перечисленных возможны и другие комбинации |
сигнала |
и помех, но они встречаются весьма редко. |
времени, имеющая |
Полезный сигнал — это случайная функция |
|
в общем случае регулярную и нерегулярную части: |
|
5 (t, U) = ср (/, U) + 5° (/). |
(3.6) |
Нерегулярная часть полезного сигнала 5° (t) есть случайная функция времени с нулевым математическим ожиданием. Регулярная часть полезного сигнала ср (t, U) представляет собой нелинейную функцию известной структуры и вектора случайных параметров U. Во многих практических задачах регулярная часть полезного сигнала может быть представлена в виде линейной функции параметров
Ф(*. U ) = |
t Ur4>r(t), |
(3.7) |
|
r= 1 |
|
где cpr (/) — известные функции |
времени; |
Uг — случайные вели |
чины. В частном случае, когда cpr (t) = tr~l |
, получаем полиноми- |
|
нальную модель регулярной части полезного сигнала. Такого рода модели используют, например, при описании элементов движения летательных аппаратов на ограниченном интервале времени.
71
В радиоприемных устройствах регулярная часть полезного сиг нала представляется как модулированное колебание
Ф (/, U) = Uх sin (UJ + U3) sin U4t, |
(3.8) |
где и г — амплитуда; U.2— частота огибающей; U3— фаза огибаю щей; 0 4— частота несущей сигнала. Это случайные величины, опи сывающие разброс параметров полезного сигнала.
Помеха так же, как и полезный сигнал, является случайной функцией времени и может иметь математическое ожидание. Помеха в ряде случаев может содержать регулярную и нерегулярную части. Примером регулярной части помехи может служить случайное по стоянное смещение нуля измерителя.
3.2. Характеристики сигналов
Случайные полезные сигналы и помехи могут быть охарактери зованы лишь в вероятностном смысле. Детерминированные сигналы непосредственно определяются своей формой и параметрами.
Полное описание регулярной части полезного сигнала или по мехи дается законом распределения вероятности вектора случайных параметров. Полное описание нерегулярной части полезного сигнала или помехи осуществляется с помощью функционала распределения вероятности.
Как известно, наблюдаемые макроскопические явления, на пример флуктуации сил и моментов, токов и напряжений, являются следствиями многочисленных микроскопических событий. Это зна чит, что вероятностные характеристики макроскопических явлений можно получить, рассматривая совокупность отдельных актов взаимо действия частиц вещества. Достаточно общей моделью этих актов взаимодействия является наложение независимых элементарных им пульсов, имеющих случайные параметры (амплитуду, фазу, дли тельность) и возникающих в случайные равномерно распределенные моменты времени. Если число импульсов в единицу времени (интен сивность появления импульсов) мало и имеет порядок единицы, то закон распределения вероятности макроскопической величины, пред ставляющей результат действия импульсов, значительно отличается от нормального закона. Примерами таких случайных процессов являются атмосферные помехи, помехи зажигания, помехи от вспле сков излучения Солнца, подводные шумы от больших неоднородностей дна и среды и человеческая речь [47, 82].
Если интенсивность появления импульсов в единицу времени составляет 10—104, то закон распределения вероятности близок к нормальному. Примерами таких случайных процессов могут слу жить сильные ионосферные помехи, помехи от осадков (дождь, снег), шумы моря. Наконец, если интенсивность появления импульсов имеет порядок более 104, то закон распределения вероятности сум марного события язляется нормальным. Примерами случайных про цессов, относящихся к этому классу, могут служить тепловой и дро бовой шумы, фотонные шумы, турбулентность атмосферы, флуктуа-
72