Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

ции радиолокационного сигнала, шумы фотоумножителя и фоторезнстора и т. п.

В дальнейшем будут рассмотрены лишь случайные процессы, законы распределения которых являются либо нормальными, либо близкими к ним. Как известно, нормальный закон распределения вероятности случайного процесса полностью характеризуется мате­ матическим ожиданием и корреляционной функцией. Поэтому в ка­ честве характеристик некоторых конкретных случайных процессов, рассматриваемых далее, принимаем математическое ожидание и кор­ реляционную функцию. Для стационарных случайных процессов кроме корреляционной функции рассматривается ее преобразование Фурье — спектральная плотность.

•Тепловой шум. Этот шум обусловлен случайными движениями электронов в кристаллической решетке вещества. Закон распределе­ ния вероятности шума является нормальным с нулевым математиче­ ским ожиданием. Спектральная плотность напряжения на концах

что значительно меньше единицы. Поэтому показательную функцию в знаменателе спектральной плотности можно разложить в ряд

Таким образом, в полосе частот от нуля до 1012 Гц спектральная плотность теплового шума постоянна. Это означает, что в данной полосе частот тепловой шум можно рассматривать как белый и считать корреляционную функцию 6-функцией:

где G„ = 8яkTR — интенсивность теплового шума. При темпера­ туре Т = 295° К и сопротивлении R = 106 Ом интенсивность теп­ лового шума G„ = 1,27-10'13 В2-с.

Дробовой шум. Этот шум есть проявление дискретности носителей электрического заряда в электронных лампах. Поток электронов, излучаемых нагретым катодом лампы, непрерывно изменяет свою плотность за счет флуктуаций температуры катода и напряженности поля между электродами лампы. При среднем токе 20 мА и анодном напряжении 200 В интенсивность импульсов тока составляет 108, поэтому закон распределения вероятности дробового шума является нормальным. Математическое ожидание дробового шума равно нулю.

73

Для плоского диода в режиме насыщения спектральная плотность дробового шума, проявляющегося в виде флуктуаций тока, имеет вид [9, 47]

5<(/) = д |Щ г [(2я//п)2 + 2 (1 - со 8 2яДп- 2 я / / п51п2я/и], (3.12)

где е — заряд электрона; I — среднее значение тока, протекающего через диод; tn — время пролета электроном участка катод—анод; О < Г < 1 — коэффициент депрессии дробового шума. Корреля­ ционная функция дробового шума, соответствующая спектральной плотности 5 (- (/), имеет вид

Время пролета электроном межэлектродного расстояния состав­ ляет tn ;=« 10~9 с, поэтому при /< 1 0 ° произведение 2яД, < 1. Рассматривая предел выражения (3.12) при 2я/7п, стремящемся к нулю, получаем следующую формулу спектральной плотности

Постоянство спектральной плотности в определенном диапазоне частот позволяет трактовать дробовой шум в этом диапазоне как белый шум. Корреляционная функция, соответствующая спектраль­ ной плотности (3.14), имеет вид 6-функции с интенсивностью Gt- = = 4ле/Г2. При среднем токе 20 мА, Г = 1 интенсивность дробового шума Gi = 4,02-10'20 А2-с. На резисторе с сопротивлением 106 Ом флуктуации тока от дробового шума создадут случайные изменения напряжения с интенсивностью Gu = 4,02-10'8 В2-с. Сравнивая эту величину с интенсивностью теплового шума, можно констатировать, что дробовой шум дает значительные флуктуации.

Шум мерцания (фликкер-эффект). Шум мерцания проявляется

вэлектронных лампах в виде медленных флуктуаций тока вследствие изменения эмиссии на больших участках поверхности катода. Уро­ вень мерцания ламп с оксидным катодом значительно больше, чем

влампах с металлической нитью накаливания. Спектральная плот­ ность тока шумов мерцания по экспериментальным данным имеет

ний ток через лампу.

Шум мерцания, как это следует из формулы (3.15), имеет большую интенсивность на низких частотах. Следует заметить, что эта фор­ мула является эмпирической и не отражает физическую сущность явлений на частотах, близких к нулю.

74

Генераторно-рекомбинационный шум. Причиной возникновения шума является флуктуация числа носителей тока в полупроводниках при явлениях генерации и рекомбинации. Этот шум аналогичен дро­ бовому шуму в лампах.

Спектральная плотность тока генераторно-рекомбинационного шума в полупроводниках, близких к чистым, имеет вид

D,а 1

(3.16)

л а2-f- со2 ’

где а = \ИЖ— величина, обратно пропорциональная среднему вре­ мени жизни носителей заряда, a DL— дисперсия, определяемая формулой

подвижности, равный отношению скоростей перемещения электронов и дырок соответственно; п — среднее число электронов; р — среднее число дырок.

Для чистых полупроводников п = р, поэтому формула для дис­

Среднее время жизни носителей в полупроводниках составляет tx = 10- 8 с. Поэтому для значений частот, удовлетворяющих усло­ вию 10"8 (о <§( 1, генераторно-рекомбинационный шум можно рас­ сматривать как белый шум.

Фединг. Этим термином определяют флуктуации амплитуды при­ нимаемого радиолокационного сигнала, обусловленные характером отражения электромагнитных волн от сложных поверхностей и из­ менениями плотности атмосферы. Основную роль в возникновении фединга играет первый фактор. Если отражающая поверхность имеет сложную конфигурацию и случайным образом изменяет свою ори­ ентацию в пространстве, то отраженный от нее сигнал будет иметь случайную амплитуду. Эта амплитуда есть модуль векторного сиг­ нала, представляющего собой результат наложения сигналов, от­ раженных от элементарных площадок поверхности.

Влияние фединга обычно учитывают в виде случайного измене­ ния угловой ошибки слежения радиолокатора. Спектральная плот­ ность фединга

75-

1 — эксперимент; 2 — аппроксимация

где Стф— среднее квадратическое отклонение; а, р — числовые пара­ метры.

Спектральная плотность имеет максимумы на частотах со0 = = ±Р, равные по величине

Оа2 + 2р2

(3.21)

а 2+ 4|3-

График спектральной плотности приведен на рис. 3.1. Корреляционная функция фединга, соответствующая спектраль­

ной плотности (3.20), имеет вид (рис. 3.2)

Блуждание центра отражения (угловое мерцание цели). Этим термином определяют флуктуации принимаемого радиолокационного сигнала, обусловленные сложением фаз сигналов, отраженных от элементарных площадок поверхности. Данное явление приводит к угловым ошибкам определения мгновенного центра отражения. Блуждение центра отражения происходит в пределах ограниченной области, связанной с отражающей поверхностью. Вследствие этого угловые колебания отраженного сигнала существенно зависят от дальности. Обычно блуждание центра отражения выражают в виде стационарной случайной функции, поделенной на дальность D (t) до отражающей поверхности:

76

Случайная функция Х 6 (i) имеет спектральную плотность, ко­ торая, как следует из экспериментальных данных, хорошо аппрокси­ мируется формулой [16, 17]

Значения параметров в этой формуле соответственно равны:

а = 9,67; а = 483,1 с -1; (3 = 0,456; у = 0,001 с3. Среднее квадра­ тическое отклонение зависит от наибольшего размера L облучаемой радиолокатором цели и вычисляется по формуле

где L измеряется в метрах.

Турбулентность атмосферы. Атмосфера всегда находится в непре­ рывном случайном движении относительно Земли. Это движение проявляется в виде ветра. Скорость ветра VK является случайной функцией времени и координат точки пространства R : W —

=W (R, 0-

Скорость ветра представляют в виде суммы двух составляющих:

постоянной и переменной. Составляющую скорости ветра считают постоянной, если за время движения летательного аппарата она мало изменяется по направлению и по величине. Модуль постоянной со­ ставляющей скорости ветра обычно рассматривают как случайную величину. Экспериментальные данные показывают, что эта величина имеет закон распределения вероятности Рэлея. Плотность вероят­ ности постоянной составляющей скорости ветра

В этой формуле среднее квадратическое отклонение постоянной составляющей скорости ветра зависит от высоты над земной поверх­ ностью. В приземном слое атмосферы среднее квадратическое откло­ нение выражается следующей зависимостью от высоты [22]:

<327>

где mWQ— математическое ожидание скорости ветра на некоторой

опорной высоте Я 0; Я — текущая высота; п — показатель степени! величину которого рекомендуется выбирать в пределах 0,15—0,20- При опорной высоте Я„ = 10 м рекомендуется принимать mu,Q=

= 3 -г-4 м -с-1.

Переменная составляющая скорости ветра W° (/?, i) характери­ зует турбулентное движение атмосферы, выражающееся в хаотиче­ ском случайном перемещении частиц воздуха. По масштабу разли­ чают три интервала турбулентного движения: крупномасштабный, инерционный и вязкий. Крупномасштабная турбулентность обуслов­ лена нарушением равновесного состояния атмосферы за счет нерав-

77