Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

номерного нагревания Солнцем. Это движение носит асимметричный характер вследствие влияния поверхности Земли и ее вращения.

В инерционном диапазоне масштабов турбулентного движения происходит передача энергии от крупномасштабного движения сравнительно небольшим массам воздуха. При этом турбулентность носит изотропный характер. Предельные величины вихрей в этом диапазоне имеют порядок нескольких сотен метров.

В вязком диапазоне турбулентность также носит изотропный характер и охватывает наиболее высокие частоты движения воздуха. Размеры вихрей в этом диапазоне составляют несколько сантиметров.

При статистическом описании турбулентности обычно прини­ маются гипотезы о неизменности поля скоростей по отношению к ле­ тательному аппарату (гипотеза «замороженностн» Тейлора), а также об однородности и изотропности в вероятностном смысле поля скоро­ стей. В соответствии с первой гипотезой считается, что вследствие большой скорости, летательного аппарата время пролета этим аппа­ ратом интервала корреляции турбулентного движения очень мало. Поэтому за это время мгновенное значение поля скоростей практи­ чески не изменяется: оно остается как бы застывшим, замороженным. На основании этой гипотезы вероятностные характеристики турбу­ лентности, полученные как функции координат для одного момента времени, можно использовать для любого момента времени.

Вторая гипотеза об однородности и изотропности позволяет огра­ ничиться при статистическом описании лишь одной корреляционной функцией проекции вектора скорости ветра на направление, со­ единяющее две точки пространства: kr (г), где г — расстояние между двумя точками пространства. Вследствие условия изотропности и однородности эта корреляционная функция зависит лишь от модуля расстояния между двумя точками. Корреляционная функция про­ екций вектора скорости ветра на нормаль к направлению между двумя точками kn (г) связана с корреляционной функцией kr (г) соотно­ шением, полученным в общей теории турбулентности [8]:

Ш = кг{г) + ± - г ^ . (3.28)

Аналитические выражения для кор­ реляционных функций, полученные ап­ проксимацией экспериментальных кри­

78

где <т^— дисперсия переменной составляющей скорости ветра;

L , L,j — продольный и поперечный масштабы турбулентности соот­ ветственно.

Масштабы турбулентности характеризуют длины интервалов, иа которых сохраняются корреляционные связи случайного процесса. Эти масштабы определяются как интегралы от нормированных кор­ реляционных функций:

= 2Ln. Нетрудно проверить, что соотношение (3.28) для приведен­ ных формул корреляционных функций выполняется.

Для перехода от корреляционных функций, зависящих от коор­ динат, к корреляционным функциям, зависящим от времени, следует воспользоваться соотношением, вытекающим из гипотезы заморо­

плотности, аргументом которых является пространственная ча­ стота й:

Графики спектральных плотностей приведены на рис. 3.4 и 3.5. Корреляционным функциям (3.32) соответствуют_спектральные

плотности временной угловой частоты со = ай:

Рассмотренные экспериментальные корреляционные функции и спектральные плотности достаточно хорошо описывают характери­ стики турбулентности в инерционном интервале и значительно хуже

79

в крупномасштабном и вязком интервалах. Несмотря на это, про­ стота аналитических выражений этих функций служит веским осно­ ванием для широкого использования их в практических расчетах. Обычно значения параметров в формулах для корреляционных функ­

3.3.Элементарные звенья

Вданном параграфе рассматривается часто встречающаяся при расчетах задача определения вероятностных характеристик выход­ ных сигналов элементарных звеньев, перечень и характеристики которых приведены в приложении 1. На вход элементарных звеньев действует случайный процесс типа белого шума с нулевым математи­ ческим ожиданием и интенсивностью G. В качестве вероятностных характеристик выходных переменных звеньев вычисляют корреля­

ционную функцию и дисперсию, а в установившемся режиме —соот­ ветствующую корреляционной функции спектральную плот­ ность.

Для вычисления используется метод весовых функций. В соответ­ ствии с этим методом корреляционная функция

Так как входной сигнал есть белый шум, то его корреляционная функция является S-функцией: Кх (х, т') = G6 (т— т'). Если под­ ставить это выражение в формулу (3.36), то можно воспользоваться свойством 6-функции (см. п. 1.4). Причем применение этого свойства

80

возможно как по одной, так и по другой переменной. При этом возни­ кает двухзначное решение:

О

V

Ky (t, l') = G \g (t, Y)g{t',x')dx'.

о

Неоднозначность решения можно устранить, если учесть обяза­ тельное требование симметрии корреляционной функции относи­ тельно ее аргументов Ку (t, t') — Ку {t‘, t). При учете свойства симметрии формулы (3.37) можно объединить в одно выражение

min (I, V)

о

где функция, стоящая в верхнем пределе интеграла,

Дисперсия выходного сигнала является корреляционной функцией при равных значениях аргументов. Спектральную плотность можно вычислить как преобразование Фурье от установившегося значения корреляционной функции или по формуле

где Ф (i(o) — частотная характеристика звена; S 0 = G/2n —• уровень спектральной плотности белого шума.

При входном сигнале в виде белого шума элементарные звенья можно рассматривать как формирующие фильтры. Поэтому спек­ тральные плотности выходных сигналов звеньев могут служить неко­ торым набором типовых характеристик, по которым можно легко решать обратную задачу построения формирующего фильтра.

Усилительное звено. Входной и выходной сигналы усилительного звена прямо пропорциональны, т. е.

Y (t) = k X (t).

Весовая функция усилительного звена g (t, т) = k8 (t — x).

Подставляя весовую функцию в формулу (3.38), получаем

Дисперсия выходного сигнала равна бесконечности, т. е.

Dy (t) = k8 G8 ( t — i) = oo.