Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 1
Спектральная плотность в соответствии с формулой (3.40) при
| CD (гео) |2 = /г2
(3.42)
и= *2Л
Из полученных формул следует, что выходной сигнал усилитель ного звена есть случайный процесс типа белого шума с увеличенной
в /г2 раз интенсивностью входного шума.
Интегрирующее звено. Входной и выходной сигналы интегри рующего звена связаны выражением
|
|
|
Y (0 |
= |
kX (/). |
|
|
Весовая функция интегрирующего звена является единичной |
|||||||
функцией: g (/, |
т) = |
/el |
(t — т). Подставляя весовую функцию в фор |
||||
мулу (3.38) и учитывая, |
что 1 (/ — т) = |
0 при t < т , |
получаем |
||||
|
|
|
min {/, |
/') |
|
|
|
|
Ку (/, |
V) = li2G |
J |
dx = |
k~Gmin (/, /')■ |
(3-43) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Дисперсия |
выходного сигнала |
|
|
|
|||
|
|
|
Dy (t) = k2Gt. |
(3.44) |
|||
Спектральная плотность выходного сигнала обратно пропорцио нальна квадрату частоты:
(3-45)
Из формул для корреляционной функции и дисперсии следует, что выходной сигнал интегрирующего звена представляет собой неста ционарный случайный-процесс с линейно возрастающей во времени дисперсией. Интегратор является формирующим фильтром, который служит для получения случайного процесса с корреляционной функ цией (3.43).
Дифференцирующее звено. Входной и выходной сигналы диффе
ренцирующего звена связаны соотношением |
|
||
|
Y(t) = k**JfL. |
|
|
Весовая функция |
дифференцирующего звена |
есть производная |
|
б-функции g (t, т) = |
k8 (t — т). |
Корреляционная |
функция выход |
ного сигнала |
|
|
|
min (<, (') |
|
|
|
Ку (/, /') = k2G |
| |
•dd (^ 7 Т) dx = k2G'6 (t — t'). (3.46) |
|
|
о |
|
|
Дисперсия выходного сигнала Dy — оо. Спектральная плотность выходного сигнала пропорциональна квадрату частоты:
5»<“ >= -Т5Г- |
' (3-47> |
82
Звено запаздывания. Входной и выходной сигналы связаны соотношением
Y (t) = kX (t — т3),
где т3— время запаздывания. Весовой функцией звена чистого за паздывания является 5-функция, сдвинутая на время т3: g (t, т) =
— k8 ( t — т3 — т). Корреляционная функция |
выходного |
сигнала |
min ((, Г) |
|
|
K„(t,t') = k*G J б(/ — т3 — t)S(/' |
— т3 — x)dx. |
(3.48) |
о |
|
|
Данный интеграл в области t < Д ' не равен нулю, если выпол няются условия 0 •< t — т3 < t, 0 < V — т3 <Д t, из которых следует
т3 > |
0, t > т3. Аналогично для области t' < t имеем 0 <it — т3 •< |
, |
|||
О < |
V — т3 -< V. Из |
этих |
неравенств следует, что т3 > 0 , |
? > |
т3. |
Таким образом, интеграл (3.48) равен |
|
|
|||
|
| |
1гЮ8 (t — Г) t > т3, V > т3, т3 > 0, |
(3.49) |
||
|
1 |
0 |
t < т3, V < т 3, т3 > 0. |
||
|
|
|
|||
Равенство нулю корреляционной функции в области if, |
V < |
т 3 |
|||
определяется свойством звена чистого запаздывания. При подаче на вход звена запаздывания в нулевой момент времени белого шума выходной сигнал будет равен нулю для моментов времени, меньших времени задержки.
Дисперсия выходной переменной звена запаздывания при дей ствии на входе белого шума равна бесконечности при t, t' > т3 и нулю при t, t' < т 3.
Апериодическое звено. Входной и выходной сигналы апериоди ческого звена связаны соотношением
T Y + Y = kX (t).
Весовая функция апериодического звена g (t, т) = ke~i-i~r^ T Подставляя это выражение в формулу (3.38), получаем
W ) = ^ |
min (I, Г) |
I + Г — 2т |
|||
1 |
е |
г_ |
dx = |
||
k°-G |
- (1 + |
Г) |
|
2 min {tf-t-) |
|
~ 2Т е |
( - 1 + е ‘ |
|
■ ) - |
||
|
|
« + /*> |
_ (/' —о |
|
|
k-G |
— e |
T + e |
r |
при t < V, |
|
2T |
|
(/ + Г) |
(l - i ') |
(3.50) |
|
|
|
^ ~ + |
e_ ~ |
7 |
при t > f . |
Эти выражения можно объединить, если учесть, что выражения в показателях вторых экспонент в обоих случаях не отрицательны. Поэтому, вводя знак модуля, получаем
ь-r |
r |
Г |
_ Д±Д> |
+ |
е |
\t —t’ \ -I |
г ...(3J.51)- |
|
K g { t , n = 4 |
|
L*— |
г |
|
||||
63.
При значении переменных t + ? > 4Г первая экспонента близка к нулю, поэтому в установившемся режиме корреляционная функция
r |
\ i - i ' |
I |
K y[t,n = w * |
т |
■ |
Дисперсия выходной переменной |
|
|
Dy(i) = ^ { 1 |
- е |
(3.52) |
В установившемся режиме дисперсия имеет постоянное значение:
Dy = k2GI2T.
Спектральная плотность выходной переменной
Sy (со) = |
k"G |
1 |
(3.53) |
2л |
1-f- (шГ)3 |
Колебательное звено. Входной и выходной сигналы колебатель ного звена связаны уравнением
Т*У + 2\ТУ + Г = kX (/).
|
Весовая функция колебательного звена при {■с |
1 |
|
|
|||
|
. |
_ Е(С-т) |
I---- ta |
|
|
|
|
|
g(t, %) = т |
t* 6 |
Г |
s in — f M * - |
т)’ |
(3,54) |
|
где |
| — коэффициент затухания; |
Т — постоянная |
времени. |
|
|||
|
Часто используют другую форму уравнения колебательного |
||||||
звена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y + |
2|со„У + |
моУ = щкХ (i), |
|
|
(3.55) |
|
где |
со0 = Ц Т — собственная частота |
звена. Весовая |
функция для |
||||
этой формы записи определяется формулой (3.54), в которой следует заменить Т на 1/ со 0. Подставляя весовую функцию (3.54) в формулу (3.38), получаем
|
I и + п min (/, /') |
Ц-х . y i - t 2 |
|
|||
Ky(t, t') = |
k2Gt |
|
|
|
(t — т) X |
|
ТЦ1- | 2) |
|
|
|
: T sin -— |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X sin |
/1 |
- |
£a |
(,t' — x)dx. |
|
|
|
т |
|
|
||
Вычисляя этот интеграл и учитывая при этом, что — (t + t') + + 2min (t, t') = — 11— t' |, получаем
Ky(t, |
|
k-G |
|
т |
t') = |
4Г(1 — £a) U-7Г\e |
|
||
|
lU + t')\ |
— _ |
|
|
— e |
T |
) cos * |
|
{t — t') -f |
84
_ £(M-n , |
r ----- |
|
|
|||
+ e |
T |
(g COS |
г ё |
( t + |
1') — |
|
— V |
1 — l 2 sin ^ * ~ |
( t + |
7 ) ) — |
|||
_ |
r |
, |
-lAFZTp |
— |
|
|
— e |
(geos-— |
|
|
|||
■ V 1 — I 2 sin |
/ Г |
If — V |
(3.56) |
|||
|
||||||
В установившемся режиме при g (f + t') > 47 получаем
_ I I / - г |
| |
г |
|
/л — 71^ ^ |
|
cos — ^ |
(f — 7) -f |
М * . 0 = щ е |
|
||
sin / 1 |
- |
6s | / - Г | |
(3.57) |
При задании уравнения колебательного звена в форме выраже ния (3.55) корреляционную функцию удобно записать в следующем виде:
Ку (t, t') = Dy cos ©i (t —t')
-|---- sin ©! 11— V .—«| / —r |
(3.58) |
где Dy — дисперсия выходного сигнала; шх = co0 ) / l — g2 — резо
нансная частота корреляционной функции; а = g/71= g(o0Дисперсия выходного сигнала колебательного звена в соответствии
с формулой (3.56)
|
|
ш |
|
Du{t) |
k-G |
т |
1 + |
m |
|
||
l V \ |
— У sin ^ |
|
21 - |
— У cos |
21 |
(3.59) |
|
В установившемся режиме дисперсия имеет постоянное значение:
k-G
D„ (3.60) m
Для установившегося режима спектральная плотность выходной переменной
k -G |
'1 — 21<оГ)2 |
(1 — 2g2) - f (соТ)'1■ |
(3.61) |
|
S y i ® ) — 2л |
||||
|
85
Спектральную плотность часто удобно представить в форме выра жения
5 |
у(со) |
fegQT4 |
____________1_____________ |
|
(3.62) |
||
2п |
[а2+(ш —со1)-][а3+(ш + шд)2] |
’ |
|||||
|
|
|
|||||
где а = УТ\ |
сох = ± ш 0 Y |
1 — I2— частоты, соответствующие |
|||||
максимуму спектральной |
плотности. |
осциллятор). |
|||||
Колебательное звено |
без |
затухания (линейный |
|||||
Это звено является частным случаем колебательного звена при £ = 0. Поэтому все результаты можно получить из предыдущих формул, рассматривая предел при £ —>0. Вычисляя пределы, получаем корре ляционную функцию выходной координаты:
'min (/, l') |
COS |
(t - П |
Ky m = -kw . Т |
T |
— sin min (/, |
V) COS max (/, |
V) |
T |
T |
. |
где функция max (t, t') = t при t > t' и max (t, t') Дисперсия координаты
г, ... k-G l t |
. t |
t \ |
Д / (0 — 2T V T |
®^ f |
т J ' |
Спектральная плотность координаты
Sy(tо) = |
k-G |
|
9 |
9 \ 9 у |
|
2л |
(СО” — со0) |
|
(3.63)
t' при t' > t.
(3.64)
(3.65)
где со о = 1IT.
3.4. Колебательное звено
Колебательное звено является математической моделью большого числа различных устройств: измерителей, маятниковых устройств, радиотехнических цепей, простейших следящих систем и т. п. По этому представляет интерес определение вероятностных характери стик выходных переменных колебательного звена при различных типах входных случайных сигналов.
Рассмотрим уравнение колебательного звена в следующей форме:
У + 2Ео)07 + шоУ = щ Х (0, |
(3.66) |
где со о, £ — параметры звена; X (t) — случайный входной сигнал. Достаточно общей моделью входного сигнала является следующее
выражение:
х (/) = 5 (0 + N (0 + |
у„6(t - g + y 0s (t - g , |
(3.67) |
где 5 (t) — полезный сигнал |
е математическим ожиданием |
ms {t) |
и корреляционной функцией |
|
|
ks (т) = Д е ~ “ 1т 1^cos cosx — -^-sincoj т |
(3.68) |
|
86 ■ •