Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

kN (т) = GN8 (т ).

(3.69)

Уравнение (3.66) интегрируется

при

нулевых

начальных усло­

виях. Начальные условия представлены

в виде

эквивалентного

входного сигнала — предпоследний и последний члены в

выраже­

нии (3.67).

Начальная координата

У0

и

скорость

У0

являются

случайными

величинами

с математическими ожиданиями

тУо, тУа

и дисперсиями DUo, DlJo.

Слагаемые в

формуле

(3.67) — некорре­

мается разность

Е (0 = У — YT,

(3.70)

mE{t) = my {l)— myr (t).

(3.71)

Дисперсия ошибки

De (0 = Dy(t) + DUy (t) -

20m (0,

(3.72)

где 0дат (t) — взаимный корреляционный

момент выходного и тре­

звена определяется уравнением

ту + 2£сo0niy + сооту = соотх(/).

(3.73)

ческое ожидание полезного сигнала ms (t)

= а + bt и математиче­

ское ожидание начальных условий. Поэтому

тх (t) = a-{- bt + тУо6 (t — 10) +

тУо8 (t — 10).

(3.74)

t

ту it) = J g (t, т) тх (г) dx,

(3.75)

^0

g (/, т)

-

е

‘ l L —

sin со0 У 1 —

— т).

(3.77)

«0 I

1 — I"

Подставляя весовую функцию и математическое ожидание

вход­

ного сигнала (3.74)

в формулу

(3.75),

получаем

Шу(i) = ---- г. 1

t

( е -

<' - т>sin со0)/ 1 — £2 (t — т) X

“о У 1 — V

,)

to

X [coo (а + Ьт) -\- m,Ja 8 (т —t0) -f Шуа8 (т — /„)] dx.

(3.78)

Вычисляя этот интеграл, представим математическое ожидание

выходного сигнала в виде четырех слагаемых:

где

ти(0 =

myi +

mlj2 +

mUt +

my„

(3.79)

■SWo (/ — /о)

1

— £2 (( — /„) +

1

-(l sin co0 У 1

i - sa

+

/

1 — £2 cos co0 ]/ 1 — £2 (/ — g )

(3.80)

mUi =

гпУое

-

V ~ la)

cos (00 ]/ 1— £2 (/ — t0) ~

—

У 1-

sin co0

1 — £2 (/ — /„)

(3.81)

ё“

m. e-

a -

10)

____

(3.82)

inyt = -■

--ГТ— В—

sin “ о У 1— £2 V — t0);

ш0/1

- £ 2

mUi (t)

_

(e - |ш0 (/ —10) Ц (i —

■t0) (| sin co0 У 1 — l2 (l — 10) -f

+

V

i

^

f

cos co0 y

i

^

f

it -

10)) +

+ 2E V

y

y

f cos co0 y

r

z

I 2(t -

10) -

- (1 - 2£2)sin co0 У Г ^ | 2 (t _

/„)] -

- 2 1 У \ - ? ) + Ы 1

e - | w „

и - t o )

x

Vi -6*

X (|sin w0y

i — l2{t — to) +

+

1^1 — E2 cos co0 ] / 1 — %2{t — iQ))

(3.83)

При

t — t о

имеем

myl — ту2 = тУ4 = 0,

туг — туд, поэтому

ту (t0) =

myQ. В установившемся режиме в формулах (3.80)—(3.83)

следует

положить t0 = —оо. В

этом случае

получаем ту, = а\

тУа = b (t '■— 2

со0); т,л

= mUi =

0. Поэтому

математическое ожи­

дание выходного сигнала в установившемся режиме

% со= а + b (* — fj-)-

(3-84)

Требуемое значение математического ожидания

туу =

а + Ы.

(3.85)

Следовательно, математическое ожидание ошибки в соответствии

с формулой (3.71) представляет

собой разность выражений (3.79)

и (3.85).

порядка. Производя

замену

переменных Y х = Y; Y 2 = Y, полу­

чаем

^1 = П;

(3.86)

Y2 = ~

cogFj -

2£со0У2 + со5Х (t).

®и — 2612)

012= Э22-- 0)0011 --2^0)0012!

j

(3.87)

022 = --- 4|(Оо022 — 2о)о012 ~Ь COqGдг-

)

0U +

6^соо0ц +

4соо (1 -)- 2|')0ц

8§соо0п =

2cooGat;

0i2

6^coo0i2

4соо (1 ~г 2§') 012 + 8^0)0012 = 0;

(3.88)

022 -f- 6|о)о022 +

4о)о ( 1 -f- 2^')022 -f- 8^0)0022 =

2cOoGj\r.

Уравнения (3.88) решают при начальных условиях

Он (0)=£>,.;

0ц (0) =

2012.;

0ц(О) =

2D;Jo — 2щОУо— 4£(oo0i2o;

0x2 (0) = 012о; Оха (0) = Dy0 — mDy<t — 2^coo0i2o;

012 (0) =

2gco;]D„t - 6gco0DUa -

4(05 (1 -

t ) 0i2„;

O22 (0) = Dyo',

022(0) =

— 4£cooDy<s— 2co50i2„;

0*22(0) =

2(ouDUa

12£cooOi20 +

A;„2(Oo (8£“ — 1).

Для каждого из уравнений

(3.88) весовая функция

-2|и„ (1-х)

g(*. т) =

4(о'5 (1 — !2) [

1 —

cos 2о>0

1 —

s* (/ — т )] .

(3.89)

дисперсию координаты для произвольного момента времени:

0Ц (/) = е—26“»0—1

Dyo

Г1- (1 - 2£2) cos 2(о0 v T

^ f (t -

д +

2(1 -

| а)

+

sin 2ш0 V T = f (t - i0) +

+

0

o f " 0

[ 1

— cos2(001^1 — l2(t — g ]

+

2(05(1 — £-)

+

0 12OS

L1— cos 2(o0 ] / 1

—

-f

(O o (i-r-)

+

i

(i — E2)= sin 2(o0 }/l — £2 (t — g

+

K i -

i

+ 4 ^ / % )

1 1

~

I2 -

e -25“o (/-/.) [ 1

- Г” cos 2o)0 У 1

£2 (/—g

4 -

+

l V \

-

12sin 2o)0 Y

1 — ? (t -

g ] ) •

(3.90)

0U=O*®!L; Ой = 0; 022 = ^ .

(3.91)