Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 1
водной в этом режиме. В переходном режиме координата и ее произ водная коррелированы.
Перейдем к вычислению корреляционных моментов выходных переменных колебательного звена, обусловленных воздействием случайной составляющей полезного сигнала. Для применения метода уравнений моментов необходимо представить случайную составляю щую полезного сигнала как результат прохождения белого шума через формирующий фильтр. Для корреляционной функции (3.68) формирующим фильтром является система второго порядка. Для оп ределения уравнения этого фильтра сравним выражение для корре ляционной функции (3.68) с формулами (3.58), (3.60). В результате
сравнения получаем |
|
|
|
= |
ws — м! |
а = ьщ . |
(3.92) |
Следовательно, фильтр, формирующий полезный сигнал из бе
лого шума, описывается |
уравнением |
|
S + |
2£iC0iS + a>iS — kV (/). |
(3.93) |
При единичной интенсивности белого шума V (t) из уравнений
(3.92) следует, что |
|
|
COl = lAo's -ь а 2; 1\ = |
|
|
|
V '“s + а'2 ’ |
(3.94) |
k = |
4Dsa |
|
I м9. +! а-3 |
|
|
Уравнение (3.93) совместно с уравнением (3.66) описывают си стему, на вход которой действует белый шум V (t) с единичной ин
тенсивностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя новые |
переменные |
Y x = |
Y, У2 = |
У, |
Y 3 — S, |
У4 |
= 5, |
||
представим уравнения (3.66), (3.93) в форме Коши: |
|
|
|||||||
Yi = У2; |
У2 = |
— 2gco0У2 — 4У1 + |
«оУз; |
Уз = У-i; |
} |
(3-95) |
|||
|
У4 = |
— ®1У3 - 2^00^4 + |
kV (t). |
|
|
|
|||
Уравнение для моментов определяется соотношением (2.73): |
|||||||||
|
0,-/ = |
S ai*0*/ + S |
aj$ik + |
bibjGij. |
|
(3.96) |
|||
|
|
ft=i |
ft=i |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты в данной системе определяются следующими ма |
|||||||||
трицами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
— шо — 2|©0 |
cog |
0 |
|
0 |
|
|
||
11% 1= |
0 |
0 |
0 |
1 |
. |
1 М = 0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
— 0)2 |
2^10)1 |
k |
|
|
||
91
В установившемся режиме в уравнениях (3.96) следует положить равными нулю производные. В результате получаем систему линей ных алгебраических уравнений 10-го порядка:
0 = Sa.-ftOkj + |
^ |
a-jifiik + |
(3.98) |
*=1 |
1. |
2, 3, 4) |
|
(*. i = |
|
Решая эту систему относительно дисперсии DtJ — 0U в установившемся режиме, получаем
Dnk" X 2ш,
X |
gCOg ((Og + |
+ |
I j W J (f t ) , + |
4 £ [ | 0 ) д ) |
|
|
|
|
|
(3.99) |
|
|ё 1ыош1 К + wi — 2cojcOg (l — 2£2 — 2§j) + |
4££1со0со1 (<Од -|- |
||||
где соь |
к определяют по формулам (3.94). |
||||
Таким |
образом, |
дисперсия |
координаты колебательного звена |
||
в установившемся |
режиме |
есть |
сумма |
дисперсий, определяемых |
|
первой формулой (3.91) и формулой (3.99).
3.5. Следящая система
Рассмотрим точность работы типовой следящей системы, струк турная схема которой приведена на рис. 3.6. Входной сигнал X усиливается на электронном усилителе в k x раз; далее, сигнал, по ступающий с потенциометрического датчика (на рисунке не показан), усиливается по мощности на магнитном усилителе в к., раз. Магнит ный усилитель является инерционным звеном с постоянной вре мени Т2. Сигнал с магнитного усилителя поступает на электродвига тель с редуктором, динамические свойства которого могут быть опи саны уравнениями последовательно соединенных инерционного и интегрирующего звеньев с коэффициентом усиления кэ. В цепях обратной связи включены тахогенератор с передаточной функцией &4, дифференцирующая цепочка с параметром Тъ и потенциометр жест кой обратной связи с коэффициентом усиления /г0. Потенциометр обратной связи имеет общую точку с потенциометром датчика. Вход-
Рис. 3.6. Структурная схема следящей системы
92
ной сигнал есть электрическое напряжение, пропорциональное сме щению движка потенциометра датчика. Выходной сигнал системы есть угол поворота редуктора, связанного с движком потенциометра обратной цвязи.
Входной сигнал представляет собой сумму полезного сигнала 5 (t) и помехи N (t):
X (t) = S (i) + N (t). |
(3.100) |
Полезный сигнал является полиномом второго порядка с постоян ными коэффициентами:
S (f) = S 0 + Sit + Sot2. |
(3.101) |
Помеха N (t) представляет собой белый шум с нулевым математи ческим ожиданием и интенсивностью GN.
Критерием точности работы следящей системы выбираем второй начальный момент ошибки:
ссе — Ше + De - |
(3.102) |
Требуется вычислить второй начальный момент ошибки в уста новившемся режиме.
Для решения задачи воспользуемся методом передаточных функ ций, изложенным в п. 2.4. С учетом выражения (2.34) математиче
ское |
ожидание ошибки вычисляют по формуле |
|
|
|
|
аз |
|
|
тЕ (0 = |
Е CrmlP (t), |
(3.103) |
|
|
г=О |
|
где |
m[r) (t) — г-я производная |
математического |
ожидания вход |
ного сигнала, а Сг — коэффициенты ошибок:
Сг = ^ [ Ф (г)(0)— Ф^’ (О)]. |
(3.104) |
(г = 0, 1, . . .)
В этой формуле Ф(г) (0), ф£г) (0) — производные передаточных функций реальной и идеальной систем при нулевом значении аргу мента.
Исследуемая система является следящей системой, поэтому требуемое преобразование полезного сигнала является тождествен ным преобразованием
Yr = Лт5 |
(/) = |
5 |
(*). |
|
(3.105) |
Отсюда Фт = 1. Передаточная |
функция |
системы от |
входа X |
||
к выходу Y в соответствии со структурной схемой |
на рис. |
3.6 имеет |
|||
вид |
|
|
|
|
|
ф ^ = __________ !lis + /г°__________ |
’ |
(3.106) |
|||
djS4 -)- d3s3-р d„s~ |
dyS -)- d0 |
|
|||
93
где |
d., = |
T2 + |
T3 + |
Th + |
kJz2k3T3Tr |
|
||||
|
h1 = /ei/e2/e37Y, |
|
||||||||
|
h 0 = kJtJi-y, |
|
d3 = |
1 + |
/eL/e2/e3Aj(i7 Y , |
|
||||
|
di = |
Г2Т3Г6; |
dn — |
kik2k3ka\ |
|
|||||
|
rf3 = |
^ T s |
+ |
n |
n |
+ |
r 2r 3. |
|
|
|
= |
При значениях параметров |
/г3 |
= 2,0; |
k2 = |
0,12 Л. Б -1; £3 |
= |
||||
350 В - А - 1-с"1; /г„ = |
1,0; |
Г2 = |
0,01 |
с; |
Т 3 = |
0,2 с; Т4 = 0,04 |
с; |
|||
7. |
= 0,55 с коэффициент di |
на два порядка меньше других коэффи |
||||||||
циентов, так как постоянная времени Т2магнитного усилителя имеет малую величину. Полагая эту постоянную времени равной нулю, получаем передаточную функцию третьего порядка
Ф (s) = |
____ hjS |
hо_____ |
(3.107) |
|||
|
|
|
+ ks~+ hs + U |
’ |
||
где |
kT |
/3 = тзть10= |
|
|||
/ц = |
/е/г0; |
|||||
li0= |
k\ l2= |
Т3 + |
Т5 + |
кТвТь\ |
||
k = k^ok^ |
li —1 + |
ккйТъ. |
||||
Пользуясь формулой (3.107), вычислим коэффициенты ошибок. Производные передаточных функций
фт (0) = |
1; Ф '1»(0) = 0; |
Ф<2>(0) = 0; |
|
Ф(0) = ± - , |
ф (1) (0) = |
— |
|
гт-.(2 ) / п |
\ ___ |
2 [kka (Тз + кТлТ5) — 1] |
|
1 |
— |
!ск\ |
|
j.2 ,,3 |
|
||
Подставив значения производных передаточных функций в фор мулу коэффициентов ошибок (3.104) и выполнив вычисления, получим
|
|
c ' = |
~ |
i k ; |
|
(3.108) |
Со = |
|
kkB(Г. + ктлтъ) - 1 |
|
|||
|
,2Ь 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Irk: |
|
|
|
|
Производные математического ожидания |
входного |
сигнала |
||||
шх — So "Ь S\t |
Sot"', |
ini1* = Si |
+ |
2Ss^; |
nix ^ — |
2S'>. |
Непосредственно из формул (3.108) следует, что данная следящая система не будет иметь ошибок по положению, если k0 = 1. При этом С0 = 0 (астатизм первого порядка). Полагая, что это условие выполнено, запишем выражение для математического ожидания ошибки системы:
шЕ (0 = — ^ ~ ~ * (Гз + |
~ — Т ^ |
(ЗЛ09) |
94
Из последней формулы следует, что математическое ожидание ошибки есть отрицательная линейно возрастающая функция (выход ной сигнал вследствие инерции системы отстает от полезного вход ного сигнала). Если входной полезный сигнал является линейной функцией времени, то S2 = 0 и математическое ожидание ошибки в установившемся режиме есть величина постоянная:
т Е = ~ ± . |
(3.110) |
Вычислим дисперсию ошибки. Поскольку полезный сигнал не случаен, то дисперсия ошибки равна дисперсии выходного сигнала, т. е. £>е — Dy. Учитывая, что входной сигнал есть белый шум, дис персию выходного сигнала вычислим по формуле
(3.111)
эффективная полоса системы:
Доз = J | Ф (/со) |2 dco. |
(3.112) |
Используя формулу (3.107), представим подынтегральное выра жение в виде табличного интеграла (см. приложение 2):
/2 /о .. .9
/!0— h\ (/to)
Ф (tC° ' I2 “ [13 (ПО)* + k (ICO.)2 + 1,1(0 + /0] [l3 ( - 1(0)3+ l3 ( _ /(0)2 _ i j u + lo]
(3.113)
Сравнивая коэффициенты числителя с коэффициентами полинома gn (ia) при п = 3 и коэффициенты полинома в первой квадратной скобке знаменателя с коэффициентами полинома h (гео), приведенными в приложении 2, получаем следующие значения коэффициентов:
£>о |
= |
0; bi = |
—/г?, |
Ьо = /г5; |
Q.0 = |
^3> |
a l = ^2i |
0,2 = |
11 ! Оэ = / о- |
По таблице интегралов приложения находим значение дисперсии:
|
|
I lr — ^2ll0 |
|
Gn Дсо |
— V'l — — |
Dy = |
_________*0 |
|
2я |
Gn I з — Gn 2I3{.k^O— Wi) |
Подставляя значение коэффициентов и преобразовывая выраже ние для Dy с учетом того, что /е6 = 1, получаем
|
kGfj |
(3.114) |
|
|
Dу 2(1 + v ) ’ |
||
где параметр |
|
|
|
|
к-Т4Т, |
(3.115) |
|
v = |
4 ' 5 |
||
тз + т5 + кТ\ + кТ4Т5 |
|||
|
|
95