Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 1
Эффективную полосу системы определяют по формуле
|
|
|
Дсо = |
кл |
|
|
(3.116) |
|
|
|
|
|
|
||
Второй начальный момент ошибки |
|
|
|
||||
а Е = |
Si , |
о о |
k ( T a + kTAT t) - l |
, 2Sa Л 2 |
, kGN |
(3.117) |
|
к + |
- |
Л2 |
|
+ к 1\ |
+ 2(Н -т) |
||
|
|
|
|||||
В частном случае при линейном входном сигнале второй началь ный момент вычисляют по более простой формуле:
kG,y |
(3.118) |
2(1 +v)
При нулевом значении коэффициента усиления k прямой цепи второй начальный момент ошибки равен бесконечности. При бес конечном значении коэффициента усиления k второй начальный мо мент ошибки
|
Gn (Т, + Г„) |
(3.119) |
|
а Е = |
27\,ГВ |
||
|
На рис. 3.7 представлены графики зависимости второго началь ного момента от коэффициента усиления прямой цепи k при следую
щих значениях параметров: ка = 1,0, Тя = |
0,2 с, Г4 = 0,04 с, |
Тъ = 0,55 с, Gn — 5. 10_6 рад2.с и различных |
значениях скорости |
полезного сигнала Si = var. Графики построены по формуле (3.118). Из графиков следует, что существует оптимальное значение коэффи циента усиления k 0, обеспечивающее минимум второго начального момента ошибки. При увеличении коэффициента усиления прямой цепи второй начальный момент стремится к установившемуся зна чению, вычисляемому по формуле (3.119).
Как следует из рис. 3.7, минимальные значения второго |
началь |
|||
ного |
момента |
для определенных условий |
соответственно |
равны: |
«е, = |
3,6. 10"5 |
рад2, ссе, = 4,7. 10~5 рад2, |
а Ез = 5,5- 10-8 рад2. |
|
|
20 |
60 |
60 |
80 к, с~' |
Рис. 3.7. Второй начальный момент |
Рис. 3.8. Эффективная полоса про |
|||
ошибки |
пускания |
системы |
|
|
96
Средняя квадратическая ошибка |
г) = ]/а Е |
для этих же трех слу |
чаев соответственно равна: rjt = |
20,6', г|2 |
= 23,6', гр, = 25,4'. |
На рис. 3.8 приведен график зависимости эффективной полосы пропускания системы от коэффициента усиления прямой цепи.
3.6. Система стабилизации угла крена
Летательные аппараты стабилизируются по углу крена у. Дина мические свойства летательного аппарата по углу крена описываются уравнением
T+*«V = - a „ 6 + m |
(3-120) |
где 6 — угол отклонения руля; ахх, ахэ — коэффициенты, зависящие от момента инерции летательного аппарата относительно продольной оси, скорости, высоты полета и аэродинамических коэффициентов; X (t) — возмущение, действующее на летательный аппарат.
Система стабилизации включает измерители угла крена и его производной, усилитель мощности и рулевую машину. Угол откло нения руля связан с измеряемыми сигналами соотношением
Гб + 6 = k6 (kLy + k2y). |
(3.121) |
Исключая из уравнений (3.120), (3.121) угол отклонения руля, получаем уравнение относительно угла крена
Ту + (1 + аххТ) у -[- (ахх -j- aX3k6k2) у -j- aX3kbkty = ТХ X. (3.122)
Структурная схема замкнутой системы стабилизации представ лена на рис. 3.9.
Возмущение, действующее на летательный аппарат, имеет ну левое математическое ожидание и постоянную спектральную плот ность Sx. Поэтому в установившемся режиме математическое ожи
дание угла крена равно нулю, и дисперсию угла |
крена можно вы |
числить по формуле |
|
Dy = j |Ф (ш) |25л. (со) rfco. |
(3.123) |
— 00 |
|
X |
|
Рис. 3.9. Структурная схема системы поперечном стабилизации
7 В. С. Пугачев |
97 |
Частотная характеристика системы от возмущения к углу крена в соответствии с уравнением (3.122)
ф (ко) = |
______________________ 1 + ш Г_____________________ |
(3.124) |
|
Т (10))я + (1 + аххГ) (,ш)24" (ахх 4~ |
"Г ахэкфг |
||
Поскольку спектральная плотность входного сигнала постоянная, то для вычисления интеграла (3.123) достаточно определить эффектив ную полосу:
Лох, |
|
|
|
| I 4- |
!<оТ |2 4(0 |
(3.125) |
|
| Г (1 ш )3 |
+ (1 |
+ |
аххТ) ( i® ) 2 4 - |
(ахх -I- ахфф„) i(o + |
|||
|
I 2 |
||||||
При этом дисперсию угла крена вычисляют по формуле |
|||||||
|
|
|
|
Dy = |
S x Лео. |
(3.126) |
|
Представим числитель в выражении (3.125) в виде полинома по степеням гео:
£„(ш ) = - r * ( t t o ) a + 1. |
(3.127) |
Знаменатель представим в виде произведения комплексно сопря женных полиномов по степеням гео:
1гп (гео) — Т (гео)3 -f- (1 -f- аххТ) (гео)2 |
(ахх -р |
+ aX3k6k2) гео + ахэкък}-
(3.128)
К (-г« ) = Т (-гео)3 + (1 + аххТ) ( - гео)2 +
+ (ахх -г а,эк6к2) (— гео) + а^/гЛ-
Сравнивая полиномы (3.127), (3.128) с аналогичными полиномами числителя и знаменателя табличного интеграла (приложение 2), получаем, что п = 3 и
|
|
|
Ь0 = 0; |
= |
—Г 2; |
62 = |
1; |
|
|
о0 = |
Т-, |
= |
(1 +ei.VAT); |
а2 = аДЛ+ |
|
а8 = a V3V Ji- |
|||
Эффективная полоса |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Acov = 2л/3 = я |
— о„60 -|- |
- e?oni^2 |
|
(3.129) |
|||
|
|
|
°0 (Оо«3 °1Я2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя |
значения коэффициентов, получаем |
|
|
||||||
|
а |
|
|
1 |
аххТ 4- ахэкТ2 |
|
|
1,3.130) |
|
|
|
v - |
я ахэк [(1 + |
аххТ) (ахх + ахэт) - |
кахэТ] |
' |
|||
|
|
|
|||||||
где /г = |
/г,/г6 — коэффициент |
усиления: |
г = |
к.,к6 — коэффициент |
|||||
демпфирования системы стабилизации.
Эффективная полоса обращается в бесконечность при равенстве нулю знаменателя. Это соотношение определяет границу устойчи вости замкнутой системы стабилизации. Приравнивая к нулю зна-
98
менатель, |
получаем |
соотношение между |
коэффициентами |
k и т |
в области |
устойчивости: |
|
|
|
|
О < |
/е < ахх (1 ~Ь дххТ) |
(1 + а ххТ ) |
(3.131) |
|
|
а г„Т |
|
|
Эффективная полоса пропускания системы имеет экстремум по коэффициенту усиления системы стабилизации. Дифференцируя выражение (3.130) по коэффициенту усиления и приравнивая произ водную к нулю, получаем квадратное уравнение
|
/г2 + |
ak — b — 0, |
|
(3.132) |
где |
|
п _ 2(1+ аХхТ) . |
|
|
|
|
|
||
|
|
ахэТ |
|
|
|
и _ (1 + аххТ)~ (ахх + |
°д-,т) |
(3.133) |
|
|
|
а2 Г3 |
|
|
Решая квадратное уравнение, получаем |
|
|||
К = |
' те |
[— 1 “Г V 1 + |
Т (а хх + а хэх ) ] • |
(3.134) |
|
ихэ* |
|
|
|
Данная формула определяет зависимость оптимального коэффи циента усиления от коэффициента демпфирования и параметров ле тательного аппарата. Для одновременного выбора коэффициентов усиления и демпфирования можно воспользоваться наряду с форму лой (3.134) неравенством (3.131) или вместо этого неравенства ис пользовать условие колебательности переходного процесса. Полагая
в уравнении (3.122) Т = 0, 2£со0 = ахх + |
ал-эт, |
«о = аХэ k и зада |
|
ваясь значением коэффициента |
затухания |
| = |
£0, получаем |
П£ _ |
Q.V.V1 Дд'Э^- |
|
(3.135) |
|
|
|
|
Из данного соотношения можно определить зависимость коэффи циента усиления от коэффициента демпфирования:
/г0 = |
. |
(3.136) |
|
4ддэ1о |
|
При совместном решении уравнений (3.134), (3.136) определяются значения коэффициентов усиления и демпфирования. Проще всего решать эти уравнения графически. Для этого на одном графике строят кривые /е0 = k 0 (т) по формулам (3.134), (3.136). Точка пере-
7* |
99 |