Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

/т — функция, учитывающая влияние теоретического движения на промах,

/т — хУт +

+ т _ ^ ') У т + ^ _5 'Ут +

 

+

+

<3167)

Уравнение (3.164) является линейным дифференциальным урав­ нением второго порядка с переменными коэффициентами и случай­ ными начальными условиями. Как известно (см. п. 2.3), начальные условия в линейной системе можно выразить в виде эквивалентного входного сигнала. Часть входного сигнала, обусловленного случай­ ными начальными условиями, представим в виде выражения

Z1(t) = xY06(l) + Y0 т6(0 + ( 1 + 7 г ) б ( 0 ’ .

(3.168)

Обозначая правую часть уравнения (3.164) через сигнал

 

z 2 (0 = -

(*Лц + Лц + kvrX) + /т,

(3.169)

запишем полный входной сигнал в виде суммы

 

Z (i) =

Z ^ t ) + Z2 (t).

(3.170)

Таким образом, случайный промах самонаводящейся ракеты в рам­

ках сделанных допущений описывается уравнением

 

т К + (l + ^ Y + k ^ Y = Z(t),

(3.171)

где т, vr, k — постоянные величины;

D (i) — известная функция времени; Z (7) — случайная функция времени.

Решение уравнения (3.171) можно записать с помощью весовой функции

т—ы

 

У (0 = 1 g ( T - A t , s)Z(s)ds,

(3.172)

о

 

где Т — At — tB— время полета ракеты до момента выключения си­ стемы управления; g (t, s) — весовая функция процесса наведения, определяемая решением следующего дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях:

+ (1 + i £ ) + ^ . g V , s) = 6{l _ s); (3.173)

это уравнение можно решить только численно.

Рассмотрим упрощенный метод определения весовой функции, заключающийся в отбрасывании второй производной в уравнении (3.173). Решение приближенного уравнения

dg(t, s)

dt + k "щту ё ifу s) — b{t — s)

105

при линейном законе изменения дальности, т. е. npuD (t) =

D 0— vrt,

где D 0 = vrT, T — полное время полета, имеет вид

 

g V, s) =

D(s)

D(0 - v rt

Y

(3.174)

D (s) -I- vrt

D (s) -f vrt

J

 

В качестве критерия точности наведения ракеты выберем второй

начальный момент промаха:

 

av = ml + Dy.

(3.175)

Для вычисления математического ожидания и дисперсии промаха рассмотрим следующие характеристики входного сигнала. Пусть нормальное ускорение цели является случайной величиной, матема­ тическое ожидание и дисперсия которой соответственно равны

т /'ш = т 'ц c o s (е-г — °ит);

(3.176)

== ^/ц *"0s2 (®Т 0цт).

 

В этом случае производная от нормального ускорения равна

нулю.

Случайные начальные условия имеют математические ожидания тУа, тУо 11 дисперсии Dya, Dy,. Функцию /т считаем равной нулю.

Помеха X (t) содержит

две составляющие — фединг и блуждание

центра отражения (см. п.

3.3):

 

ХЦ) = Х фУ ) + % $ - .

(3.177)

Математическое ожидание помехи равно нулю. В полосе про­ пускания системы самонаведения фединг и блуждание можно рассма­ тривать как случайные функции с постоянной спектральной плот­ ностью. Поэтому корреляционная функция суммарной помехи

Kx (t, П = Сф +

Об

б ( / - О ,

(3.178)

 

0*(OJ

 

 

где Gф, G6 — соответственно интенсивности фединга и блуждания. Для вычисления математического ожидания и дисперсии промаха

воспользуемся методом весовых функций.

В соответствии с общей формулой математического ожидания про­ маха

Т—А1

 

 

тц =

j g(T —At,

s) mz (s) ds.

(3.179)

 

о

 

 

Математическое ожидание входного сигнала

 

тг (s) = хт-Ь (s) -f тУо тб (s) +

^1 +

 

D(s)

ГП;ц cos (ет — 0цТ) Д fT(s).

(3.180)

v.

 

 

 

106

Подставляя математическое ожидание входного сигнала в фор­ мулу (3.179) и выполняя интегрирование, получим

ту = — т,- cos (ет — 0ЦТ) fi (k, т, Т, At) -j-

+my.fr (k, r, T, At) + m-J3(k, x, T, Д*) +ф(А, T, At), (3.181)

где функции /у, f2, / 3, ф зависят от обобщенного [коэффициента уси­ ления /г, эквивалентной постоянной времени движения ракеты отно­ сительно центра массы т, общего времени полета Т и времени неуправ­ ляемого полета At. Указанные функции

 

 

T—At

h(k,

х, Т, Ai) = ~

j D (s)g (T — At, s) ds.

 

Vr

J,

При D (s) =

D q— vrs и k =

1 этот интеграл

fi = № + т) (Г - At - 2x In £ ± 1 ) + t2 (1 - ^ T) .

При k = 2 функция

 

T + x

 

 

fi — (At

t)2 In

 

 

At -{- t

 

—2t(At

At -)- x ) .

x2

At + x\-

t) 1 — T

+ t J +

Т Г 1 —

T + x)]

(3.182)

(3.183)

(3.184)

Для всех остальных значений коэффициента усиления k 4= 1, 2 функция /4

Функция /2

(k,

х, Т,

At)

определяется соотношением

 

 

 

 

г-д;

 

h =

( l + ^ - )

J 8 ( s ) g ( T - A t , s)ds +

 

 

 

T—At

 

 

 

 

+ т

J

8(s)g(T — At, s)ds.

 

 

 

 

о

 

 

Используя

свойство

5-функции, получаем

 

f, = ( i + 4 - ) g ( r - i t , 0 ) + Д а8|Т^

4 ,- ,

(3.185)

(3.186)

(3.187)

Подставляя значение весовой функции и учитывая, что при диф­ ференцировании не учитывается множитель в виде единичной функ-

107

цин [весовая функция уравнения (3.164) не имеет скачка при t = s], получаем

*

(At + x)k Г'п I , ( * + 1) П

(3.188)

' а — (Г + т) * + 1 L

 

Т + х \

 

Соответственно функция

 

 

 

 

 

 

T-AI

 

 

 

f3(k,x,

T,Al) = x

J

б (s) g (Т — At, s) ds =

 

= x g ( T - A t ,

0) =

Т х

'Л/ -j- т'

(3.189)

у^р

.Т + Ч.

 

 

 

 

 

В формуле (3.181) функция

 

 

 

 

 

T—At

 

 

 

Ф (к, х,

Т, А0 =

J

g ( T -

At, s) fT (s) ds.

(3.190)

 

 

о

 

 

 

Считая, что случайный маневр

цели,

начальные ошибки пуска

и помеха некоррелированы между собой, определим дисперсию промаха:

 

Dy — Djц cos2 (ет — 0ЦТ) f{ (k, х, Т, At) -f

 

 

+ D j l ( k ,

х,

Т, At) + Dyjl (к, т,

Т,

At) +

 

 

+

G*o^(ft, т, Т, At) + G6f5 (k, x,

T,

At).

(3.191)

Функция /4 (k, х, Т,

At)

есть интеграл вида

 

 

 

T-At

 

 

 

 

 

 

U = \ \ \ \ 8 { T - A t ,

l ) g { T - A t , t')k*D(Z)D(t')8(s-

0

0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

— g) 6 (s' — I') бфб (s —s') ds ds' dl d g .

(3.192)

Учитывая свойство б-функции, получаем

 

 

 

 

 

 

T-Al

 

 

 

 

 

f, = G ^

[

\ ± [ D ( s ) g ( T - A t ,

s))V ds.

(3.193)

 

 

 

о

 

 

 

 

Вычисление этого интеграла с учетом формул (3.149), (3.174)

дает следующее выражение, справедливое при к Ф 1,2:

 

/.(*, т.

т,

=

 

- ( - Т Т г Г

4

 

 

 

 

2х2(ЗА2—1)

 

 

 

о М -т £ Г ] + (2 * + 1)(Д* + т )

X

108

ОС,М2

0 2 4

6 8 k

Щ

б)

О

2 4 6 8 к

в)

г)

Рис. 3.12. Зависимость среднего квадрата промаха ракеты от коэффициента усиления при различных значениях параметров:

а — обобщенной постоянной времени; б — среднего квадратического отклонения ускоре­ ния цели; в — дальности выключения коор­ динатора; г — относительной скорости сбли­ жения ракеты; д — начальной дальности

пуска ракеты

О

2

4

6

8

к

д)

109

Смотрите также файлы