Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

4.1. Задачи анализа нелинейных систем

Динамические процессы в нелинейных системах существенно слож­ нее процессов, происходящих в линейных системах. Это опреде­ ляется наличием нелинейности и структурой системы. Нелиней­ ности, имеющие безынерционные нелинейные функциональные за­ висимости между переменными на входе и выходе, в отличие от ли­ нейных элементов преобразуют характер случайных процессов, изменяют их законы распределения.

При наличии нелинейностей в замкнутых системах при опреде­ ленных начальных условиях возможно возникновение и устойчивого колебательного процесса, называемого автоколебаниями. Автоко­ лебания имеют определенную частоту повторения. При случайных возмущениях автоколебания в нелинейной системе нарушаются, движения приобретают сложный хаотический характер.

Динамические процессы в нелинейных системах при действии случайных возмущений претерпевают сильные качественные и коли­ чественные изменения. Чтобы охарактеризовать эти процессы, не­ достаточно знать только математические ожидания и корреляцион­ ные функции входных и выходных переменных. Для исследования нелинейных преобразований случайных функций и нелинейных ди­ намических систем, находящихся под воздействием случайных воз­ мущений, используют законы распределения входных и выходных сигналов. Эта задача достаточно сложна и сводится к интегрирова­ нию дифференциальных уравнений в частных производных относи­ тельно функции плотности вероятности. В практических инженер­ ных оценках она может быть заменена определением числовых ха­ рактеристик — вероятностных моментов высших порядков перемен­ ных системы.

Задачи анализа нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений, состоят в определении за­ конов распределения или вероятностных числовых характеристик всех или только выходных переменных, в исследовании зависимости этих характеристик от параметров системы, а также числовых ве­ личин входных сигналов, в определении точности воспроизведения или преобразования полезных сигналов. Одной из основных задач среди перечисленных является задача оценки математических ожи­ даний и корреляционных функций выходных переменных. Эта задача включает также оценки математического ожидания и . корреляцион­ ной функции ошибки воспроизведения системой полезного или задан-

Ш

ного сигнала, т. е. основную задачу точности. Общая постановка этой задачи аналогична постановке, сформулированной в гл. 2, п. 1 для линейных систем. Однако решение задачи для нелинейных замкну­ тых систем связано со значительными трудностями вычислитель­ ного характера. При этом для произвольных нелинейных систем не существует общего точного метода определения интересующих нас вероятностных характеристик. Поэтому большое значение имеют приближенные методы решения задач анализа, в том числе и задач определения точности нелинейных систем, основанные на применении обычной и статистической линеаризации функциональных зависимо­ стей. Если функциональные зависимости линеаризованы, то прибли­ женно анализ нелинейных систем может быть проведен методами ли­ нейной теории. К приближенным методам относится также метод эк­ вивалентных возмущений, основанный на аппроксимации выходных переменных любой динамической системы полиномами по случайным параметрам, если входные случайные возмущения представлены в па­ раметрическом виде через случайные параметры [23, 31].

Приближенные методы дают возможность определить числовые характеристики случайных процессов в нелинейной системе — ве­ роятностные моменты, основными из которых являются математиче­ ские ожидания и корреляционные функции.

4.2. Преобразование случайных функций нелинейностями

Простейшей нелинейной системой является безынерционная не­ линейность. Значение функции Y на выходе безынерционной нели­ нейности ср определяется только значением функции X на входе в тот же момент времени t:

Нелинейное безынерционное преобразование случайного процесса, так же,как и линейное пропорциональное, не вносит дополнительных вероятностных связей. Это означает то, что, если процесс на входе безынерционного преобразования полностью характеризуется «-мер­ ным распределением, то процесс после преобразования (на выходе нелинейности) также характеризуется распределением /г-го порядка. Например, если случайный процесс на входе в нелинейность пред­ ставляет собой белый шум, то на выходе он также является белым шумом. Однако в отличие от линейного безынерционного преобразо­ вания при нелинейном преобразовании изменяется вид закона рас­ пределения.

Задача анализа применительно к заданному преобразованию (4.1) состоит в определении закона распределения функции Y (t) при заданном законе распределения функции X (t). Для опреде­ ления закона распределения функции Y(t) необходимо существова­ ние обратного функционального преобразования

112

Если обратное преобразование (4.2) однозначно и задача функции плотности вероятности f (х, t) распределения процесса X (t), то плот­ ность вероятности к {у, t) процесса Y (t) определяется на основании

ность вероятности не может быть отрицательной, в формуле (4.3) необходимо учитывать модуль производной. Окончательно формула для плотности вероятности выходной переменной принимает вид

h{y, = t) ~dy (4.4)

Если обратное преобразование неоднозначно, то в формуле (4.4) необходимо осуществить суммирование по каждой ветви неоднознач­ ной характеристики ф (у).

В общем случае при определении «-мерной функции плотности вероятности на выходе безынерционной нелинейности получаем фор­

dipi

дУп

дфп

дуг дуп

суммирование осуществляется по всем ветвям обратного преобразо­ вания. При этом, если определяют m-мерный закон распределения на

Вычисление плотностей вероятности по приведенным формулам достаточно просто для однозначных обратных преобразований. Однако на практике часто обратное преобразование многозначно пли в некоторых случаях имеет бесконечное число значений, а ее произ­ водные терпят разрыв. В этих случаях для определения одномерных функций распределения необходимы специальные приемы, а опреде­ ление многомерных функций распределения становится весьма гро­ моздким [24].

Практически валено, однако, определение одномерных моментных функций любого порядка, а также второго двумерного центрального момента — корреляционной функции на выходе нелинейности. Эта задача более простая для определения одномерных моментных функ­ ций, причем для определения одномерного момента любого порядка случайной функции на выходе произвольной нелинейности необ­ ходимо знать закон распределения входной функции:

СО

В частном случае полиноминальной характеристики ср (х) формула для k-ro момента переменной Y (t) выражает этот момент через мо­ менты переменной X (t) для того лее момента времени и может быть получена из формулы (4.6), если в нее подставить выралеение

для момента времени t. Из формулы (4.7) следует, что момент /е-го порядка выходной случайной функции выралеается линейно через высшие моменты входного процесса, начиная с момента /е-го порядка до момента kN-vo порядка.

Так как всякая однозначная нелинейность практически любым способом может быть аппроксимирована полиноминальной характе­ ристикой, то сформулированное выше правило для моментов выход­ ной переменной является общим для нелинейных безынерционных преобразований.

114