Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Более сложной является задача определения корреляционной функции или второго начального момента выходной переменной нелинейности:

— со — со

где / (xlt х2, t ! , t2) — двумерная функция плотности вероятности слу­ чайного процесса на входе. Из формулы (4.8) следует, что для опре­ деления второго начального корреляционного момента ( t lt t2) необходимо знать двумерный закон распределения входной перемен­ ной. Непосредственно вычислить интеграл (4.8) сложно. Для его вычисления разработаны два общих метода: прямой метод и метод контурных интегралов (Райса). Для нормальных случайных про­ цессов применяют метод производных, который по существу является

где / (х, t) — одномерная плотность вероятности; Q„ (х, t) — поли­ номы, которые удовлетворяют условию ортогональности

Коэффициенты апт t2) можно заранее рассчитать по формулам

CO CO

— 00——0000

n, m = 0, 1, 2, . . .

Подставляя выражение (4.9) в формулу (4.8), получаем

00

Метод контурных интегралов основан на преобразовании характе­ ристики нелинейности при определенных условиях [77 ] с помощью контурного интеграла вида

(4.10)

L

где

СО

q (iu) = J ф (х) е~'Л" dx

— переходная функция нелинейности [19, 77]. Подставляя вы­ ражение (4.10) в формулу (4.8) и производя преобразования, получим

где g ( u lt u 2, t lt t 2) — двумерная характеристическая функция про­ цесса на входе в нелинейность. Представляя характеристическую функцию в виде двумерного ряда по ортогональным полиномам, аналогично выражению (4.9) запишем

СО

g (M l, U-2 , t-2) = ё (Wli ^2) X ^ пт It ^2) X n, m= 0

—СО — с о

хр п (и1, t j p m(ut, ti)du1diu.

Подставляя соотношение (4.12) в формулу (4.11), после преобразований получим

L

Здесь L — контур интегрирования, соответствующим образом вы­ бранный в комплексной плоскости и [77].

В ряде случаев нелинейность в диапазоне изменения входной пе­ ременной можно линеаризовать, представив в виде отрезка ряда Тей­ лора относительно математического ожидания входной переменной

тх (см. гл. 1 п. 8):

cp (X) = ср (тх) + ср' (тх)Х°.

116

В этом случае для получения вероятностных характеристик про­ цесса на выходе нелинейности применима теория преобразования случайных функций линейным безынерционным элементом (см. гл. 2,

п. 1).

Приближенно можно также определить вероятностные характе­ ристики случайного процесса на выходе безынерционного элемента, если нелинейность линеаризовать статистически, т. е. представить в виде выражения

ф W = Фо + /гД 0.

В этом случае также применима линейная теория. Однако ста­ тистическая характеристика ср0 и коэффициент /ех зависят от параме­ тров одномерного закона распределения процесса на входе в нели­ нейность и определяются по формулам (1.78), (1.79), (1.80). При этом вероятностные моменты случайного процесса на выходе нелинейности вычисляют по следующим формулам:

Ку (^Ъ ^2) —^1 (^l)^1 0*2) Кх(^1, ^2) •

Изложенные методы определения законов распределения и вероят­ ностных моментов случайного процесса на выходе безынерционного нелинейного элемента требуют знания законов распределения для входного процесса или его вероятностных моментов высших порядков по сравнению с определяемым.

4.3. Метод передаточных функций

Как известно, любую нелинейную систему можно рассматривать состоящей из безынерционных нелинейностей и линейных инерцион­ ных частей. Для приближенного вероятностного анализа применим линеаризацию нелинейностей относительно центрированных слу­ чайных функций в соответствии с приемами, описанными в п. 1.8. При этом в общем случае уравнения системы останутся нелинейными относительно математических ожиданий переменных и линейными относительно центрированных случайных составляющих с коэффи­ циентами, зависящими от математических ожиданий (обычная линеа­ ризация) или от математических ожиданий и корреляционных мо­ ментов (статистическая линеаризация) переменных на входе в нели­ нейность. Линеаризация уравнений дает возможность применить для вероятностного анализа теорию линейных преобразований слу­ чайных функций, изложенную в гл. 2. Для стационарных устойчивых систем, находящихся под действием стационарных случайных воз­ мущений, при анализе только установившегося режима во многих случаях удобно применить метод передаточных функций (п. 2.4).

Рассмотрим прежде всего одномерную стационарную систему с одним входом и одним выходом (см. рис. 1.1). Пусть на входе си­

117

стемы задана сумма неслучайного полезного сигнала ти н стацио­ нарной случайной помехи № (/), имеющей равное нулю математиче­ ское ожидание:

U (0 = ти (t) + Я° (t).

Система управления должна удовлетворять определенным тре­ бованиям, например требованиям воспроизведения на выходе по­ лезного сигнала ти (t) в случае следящей системы или получения некоторой линейной функции этого сигнала и его производных, как в линейной системе. При этом систему в целом проектируют как линейную, а нелинейности типа ограничения, зон нечувствительности и другие учитывают при анализе динамики и точности ее работы. В некоторых случаях систему проектируют как нелинейную. Задача таких систем состоит в воспроизведении входного сигнала или в под­ держании постоянного значения выходной переменной. В установив­ шемся режиме рассматриваемая нелинейная система должна иметь некоторый выходной желаемый сигнал уТ (I), связанный с входным полезным сигналом некоторым идеальным оператором L (2.33). Ошибка системы управления при этом выражается формулой

Е = Y — Lmu.

Пусть нелинейная система содержит один нелинейный безынер­ ционный элемент и описывается уравнением вида

стоянными коэффициентами; ср — нелинейная функция. На рис. 4.1 изображена структурная схема рассматриваемой системы. Предпо­ ложим, что функция ср является гладкой дифференцируемой и воз­ можна ее линеаризация:

матические ожидания и центрированные составляющие, получим уравнения для математических ожиданий

Рнс. 4.1. Структурная схема одномерной системы

118

ствует, величина тх — const. Тогда уравнения (4.16) и (4.17) яв­ ляются стационарными. Пользуясь уравнением (4.16), определяем передаточные функции для ту и тх соответственно:

ф_________ Нi (s) 7/о (s) /г0 (тх)_______ .

W F, (s) F2(s) + Н, (s) Н2 (s) kB(тх) ’

Используя выражение для передаточной функции Ф0ЛГ (s), на основании формулы (2.31) получаем

со

тх = ^ тр Фсы (0, тх)т {иг) (/). г=о

Эту формулу следует рассматривать как уравнение относительно тх. Разрешая его любым способом, определяем тх, а затем величины /г0 (пгх) и cp' (m.v). Далее на основании той же формулы (2.13) опре­ деляем

где Фоу (0, тх) — г-я производная передаточной функции Фо,, (s,

тх) по s.

Математическое ожидание ошибки системы определяют на осно­ вании формулы (2.34). В данном случае

СО

Ше = £ СГт\Р (/), /■=0

где Сг — коэффициенты ошибок, определяемые формулами (2.34). Пользуясь уравнением (4.17), определяем передаточную функцию

для переменной Y 0:

Заменяя s = iсо в формуле (4.18), вычисляем частотную характе­ ристику линеаризованной системы в установившемся режиме. Для определения дисперсии выходной переменной применим формулу

(2.41):

Интеграл в формуле (4.19) вычисляют при помощи таблиц (при­ ложение 2), если спектральная плотность SN(со) представлена дробно­ рациональной функцией частоты, а подынтегральное выражение приведено к выражению (2.45).

Так как в рассматриваемом случае полезный сигнал является неслучайным, то дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходной переменной D в = Dy.

119