Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Предположим теперь, что функция ср в уравнениях (4.14) может быть линеаризована статистически, т. е.

ср (X) = /го тх + kxX°,

где к0 = к 0 (тх, Dx)\ кг = k x (m„ Dx) — статистические коэффициенты усиления по математическому ожиданию и по случайной центри­ рованной составляющей. В этом случае из уравнений (4.14) получаем связанные между собой системы уравнений для определения мате­ матических ожиданий переменных:

которые имеют конкретный вид для заданной нелинейности и зави­ сят от тх и Dx.

В установившемся режиме, если такой в системе существует, величины тх, D, постоянны. Следовательно, в установившемся ре­ жиме уравнения (4.20) и (4.21) стационарны и при постоянных задан­ ных к 0 и kx линейны. Применяя к этим уравнениям формально линейную теорию (п. 2.4), определяем передаточные функции для тц,

т ,, F0, У0:

Ф/ _ \ _____ Ну (s) Н2(s) /г0 (тх, Р х)________.

ои W ~ Fi (s) Ft (s) + Hl {S) h 2(s) * 0 (mx. Dx) ’

Ф/ ч __________H2(s)Fx(s)k0(mx. Dx)_______.

На основании формулы (2.31) получаем выражение для математи­ ческого ожидания переменной на входе в нелинейность:

Дисперсию переменной на входе в нелинейность вычисляют на основании выражения (2.41):

00

где Ф1Л- (/со) — частотная характеристика, полученная из выражений (4.22) заменой s = /со. Интеграл в формуле (4.24), как известно, при определенных условиях выражается через параметры системы и

120

спектральной плотности. Формулы (4.23) и (4.24) являются в сущности уравнениями, связывающими между собой величины тх и Dx. До­ бавляя к ним выражения для /е0 (тх, Dx) и k l (пгх, Dx) конкретных нелинейностей, получаете полную систему уравнений, определяющих эти вероятностные характеристики. Для их вычисления можно при­ менить метод последовательных приближений или в простейших случаях графическое решение. После того как будут найдены вели­

необходимо задаться значениями коэффициентов k 0 и k x и по форму­ лам (4.23) и (4.24) определить тх и Dх в первом приближении. Затем воспользоваться формулами для /г0 (тх, Dx) и k x (тх, Dx) и вычис­ лить новые значения коэффициентов /г„ и /е:1, после чего повторить расчет тх и Dx во втором приближении. Вычисление можно закон­ чить, когда два следующих друг за другом приближения совпадут с точностью до погрешностей расчетов.

Для определения ту также воспользуемся формулой (2.31), записав ее в следующем виде:

а для определения систематической ошибки — формулой (2.34), которая принимает вид

Заметим, что так как полезный сигнал ти (£) обычно можно пред­ ставить в виде полинома, а система имеет астатизм необходимого по­ рядка, то в формулах (4.23), (4.25) можно ограничиться первым чле­ ном разложения. Далее определяют Du по следующей формуле:

случае совпадает с Dy, так как требуемый выходной сигнал принят не случайным.

Важное практическое значение имеет случай, когда в системе имеется один выход и т входов Ui (t), i — 1, . . ., in. Один из них Uх (t) является основным и на него подается неслучайный полезный

сигнал mUl, а также помеха Ni (t). Через остальные входы в систему

поступают помехи, не коррелированные между собой, с помехой N\ и имеющие равные нулю математические ожидания. В этом случае процедура расчетов в установившемся режиме в основном сохра­ няется. Для нахождения тх, ту, ше применяют формулы (4.23),

121

(4.25), (4.26), а для определения дисперсий Du и Dx используют сле­

дующие выражения:

гп со

линеаризованной системы для случайных составляющих от входов N,- до выходов х и у соответственно в установившемся режиме. Формулы (4.23) и (4.28) также представляют собой уравнения относительно пгх и Dx. Эти уравнения могут быть решены в общем случае методом по­ следовательных приближений с учетом выражений для /г0 (inx, Dx) и /г, {тх, Av) или графически.

Графическое решение уравнений (4.23) и (4.28) состоит в построе­ нии в координатах тх, Dx кривых, соответствующих этим уравне­ ниям, и в определении точки их пересечения. При этом может быть применен следующий прием. Заменим уравнение (4.23) системой

z = тх,

(4.30)

2 = 2 з т Ф « г’ (°)т '(;) (/)-

г^О

Построим в координатах z, тх прямую 1 по первому уравнению (4.30) и серию кривых 2 по второму уравнению (4.30) при различных значениях Dx (рис. 4.2). Точки пере­ сечения кривых 2 с прямой 1 удов­ летворяют уравнению (4.23). Пере­ неся эти точки на плоскость пере­ менных тх, Dx и проведя через них кривую 3, получим первую зависи­ мость между переменными тх и Dx, соответствующую уравнению (4.23).

Далее для точек этой кривой вы­ числяем правую часть формулы (4.28) и строим вторую зависимость между тх и Dx (кривая 4). Точка пересече­ ния кривых 3 и 4 определяет искомые значения тх и Dx, так как она удов­ летворяет одновременно уравнениям (4.23) и (4.28). После определения этих величин вычисляют коэффициенты

/го (тх, Dx) и k y {тх, Ar)

и по соответствующим формулам определяют ше, Dv, D&.

Рис. 4.2. Графическое решение уравнений (4.23)

и (4.28)

В современном приборостроении, автоматике и других отраслях техники широко используются устройства, в которых возможен автоколебательный процесс при отсутствии внешних возмущений. Этот автоколебательный процесс в некоторых устройствах является полезным сигналом, в других он должен быть подавлен за счет внеш­ него более высокочастотного регулярного или случайного сигнала.

где тх, сг— постоянные величины; Х° (t) —■стационарный случайный процесс со спектральной плотностью Sx (со) и равным нулю матема­ тическим ожиданием. Задача состоит в изучении поведения дина­ мической системы при действии случайной и регулярной полигармоннческой составляющих, т. е. в определении вида решения в устано­ вившемся режиме, спектральной плотности и дисперсии переменной

у(О-

'Используем для решения этой задачи метод статистической линеа­

ризации. При этом будем рассматривать колебания как процессы со случайной фазой и относить их к центрированным составляющим

[27].

В установившемся режиме будем считать, что переменная

у±(0 = (0 + 2 drsin к* —1|>г),

г=1

где ту — математическое ожидание переменной Y (t) в установив­ шемся режиме, равное постоянному значению; УД (t) — центриро­ ванная составляющая, содержащая стационарную случайную функ­ цию У0 (i) и регулярную часть полигармонического типа с ампли­ тудами dr и случайными фазами фг.

На основании метода статистической линеаризации нелинейности запишем

123