Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

где функции

имеют конкретный вид в зависимости от типа нелинейности; Dyi — дисперсия; D • — дисперсия производной функции Y х (I) в устано­

получим уравнения для определения математического ожидания и случайной составляющей:

мом случае вычисляют по формулам линейной теории (п. 2.4), при­ нимающим вид

тистически линеаризованной системы от входа Z до выхода Y. Выражения (4.37), (4.38), (4.39) являются уравнениями, которые

связывают величины ту, Dyi, Ь • . Для их определения необходимо эти уравнения решить совместно, учитывая формулы для /е0, k x,

К-

124

Случайный процесс Y (t) в установившемся режиме имеет вид

N

у (0 = ту + У0 (/) + £ cr IФ (ког) | sin (соrt — -фг);

Г=1

ФЛ= arg® (ко,.).

Спектральная плотность этого случайного процесса

N

г=1

Из последней формулы следует, что спектральная плотность со­ стоит из непрерывной и дискретной частей. Непрерывная часть может иметь экстремум иа частоте, определяемой из уравнения

dSy (со) _ а

дш ~

Дискретная часть имеет 5-функции на частотах сог, совпадающих с частотами внешнего полигармонического возмущения. Изложенная процедура расчетов может быть обобщена на другие структуры и многомерные системы с одной нелинейностью.

Аналогично решается задача при наличии в системе нескольких нелинейностей. Заменив нелинейности линейными безынерцион­ ными зависимостями с соответствующими статистическими коэффи­ циентами усиления и выразив при помощи формул типа выраже­ ний (4.23), (4.24) или (4.28) математические ожидания и дисперсии входных сигналов всех нелинейностей, получим необходимые урав­ нения для определения этих неизвестных. Для решения уравнений в общем случае следует применить метод последовательных прибли­ жений. В результате решения этих уравнений определяются мате­ матические ожидания и дисперсии входных сигналов нелинейностей и соответствующие статистические коэффициенты усиления. После этого по формулам типа (4.25), (4.26), (4.27), (4.29) определяют мате­ матические ожидания и дисперсии выходных переменных и ошибок системы.

4.4. Метод интегрирования уравнений системы

При решении основной задачи анализа точности нелинейных си­ стем непосредственно использовать метод интегрирования уравне­ ний системы невозможно. В этом случае предварительно проводят линеаризацию нелинейностей любым способом, после чего можно применить метод интегрирования уравнений системы, изложенный в п. 2.5.

Рассмотрим существо и особенности применения метода интегри­ рования уравнений так же, как и в п. 2.5, предварительно для одно­ мерной системы с одной нелинейностью. Пусть уравнение такой

125.

где

в общем случае нестационарный процесс с заданным математическим ожиданием и корреляционной функцией. Начальные условия для уравнения (4.40) являются случайными, для которых заданы мате­

= niy (/) + У0 (I). Пусть ср (У) является гладкой,дифференцируемой нелинейностью и допустима обычная ее линеаризация:

Подставляя выражение (4.41) в уравнение (4.40) и пользуясь принципом суперпозиции, из линеаризованного уравнения полу­

где тх — математическое ожидание;

X й— центрированная составляющая случайной функции X (t). Уравнение для математического ожидания (4.41) является нели­ нейным и интегрируется при заданных начальных условиях для ти (0) и я — 1 ее производных. После его интегрирования определяем ту и ср' ( n i y ) . Уравнение (4.42) — линейное с переменными параметрами. Для его интегрирования и определения Dy полностью применим

метод, изложенный в и. 2.5.

В общем случае нелинейность ср (У) всегда может быть линеари­

Подставляя выражение (4.44) в уравнение (4.40) и пользуясь прин­ ципом суперпозиции, из линеаризованного уравнения получим урав­ нения для математического ожидания и случайной центрированной

где тх (t) — математическое ожидание; Х° (t) — центрированная со­ ставляющая случайной функции X (t).

126

Уравнение (4.45) следует интегрировать при заданных начальных условиях ту (0), . . , т ^ п_Х) (0). Для уравнения (4.46) заданы

начальные дисперсии переменной Y и ее производных У(г) до п— 1-го порядка. Это уравнение может быть проинтегрировано методом канонических разложений. Для этого представим случайную функ­ цию Х° (/) каким-либо разложением:

Ru = M \ V lV,\.

Решение уравнения (4.46) также будем изыскивать в виде разло­

где tjj (t) — неизвестные координатные функции разложения. Подставив выражения (4.47) и (4.48) в уравнение (4.46) и выпол­

нив необходимые преобразования, для определения координатной функции tjj (/) получим

Уравнения (4.49) для координатных функций связаны между собой и с уравнением (4.46) через функции ср0 и k x от ту и DtJ. По­ этому полученные уравнения необходимо интегрировать совместно, дополнив следующими формулами для ср0, k x и Dy:

Фо = Фо (ту, Dy); k 1 = k 1 (ту, Dy)\

(4.50)

Du= Ъ RijVi ( 00/ ( 0-

t. i = i

Уравнения (4.49) необходимо интегрировать при определенных начальных условиях для координатных функций. Однако в рассмат­ риваемом случае заданы начальные дисперсии переменной Y и ее п — 1-й производной, как и в задаче, рассмотренной в п. 2.5. Поэтому для определения начальных значений координатных функций вос­ пользуемся темн же рассуждениями и выкладками. В результате начальные условия для первой координатной функции у х при раз­ ложении по действительным координатным функциям имеют вид

где D, = R lt = M [Vi\.

127

При разложении по комплексным координатным функциям на­ чальные условия для первой координатной функции должны быть взяты в формуле

интегрированию нелинейного уравнения (4.45) для математического ожидания, N линейных уравнений (4.49) для координатных функций при определенных начальных условиях с учетом конечных соот­ ношений (4.50). Особенность применения рассмотренного метода к нелинейному исходному уравнению состоит в необходимости совмест­

рованием уравнений может быть вычислена корреляционная функ­ ция по формуле (2.61) или (2.62).

Если для рассматриваемой системы задана некоторая идеальная операция над полезным входным сигналом тх (t), то по формуле (2.34) могут быть рассчитаны ошибки в системе.

Изложенный метод исследования нелинейных систем применим также к многомерным системам со многими нелинейностями.

Пусть многомерная нелинейная система задана уравнениями вида

где Vtj — случайные коэффициенты, имеющие равные нулю матема­ тические ожидания, заданные дисперсии и корреляцион­ ные моменты связи;

Хц (I) — известные координатные функции.

128