Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Нелинейные функции ф; необходимо линеаризовать. Применим статистическую линеаризацию как более общую и включающую обычную линеаризацию в качестве частного случая. В результате уравнения (4.51) принимают вид

где статистические характеристики нелинейностей ф(-0 и статисти­ ческие коэффициенты усиления kir определяются конкретными фор­ мулами, зависящими от вектора математического ожидания тц и корреляционной матрицы 0,,:

Подставляя соотношения (4.52), (4.55) в уравнения (4.53), учи­ тывая принятую нумерацию случайных параметров и координатных функций в выражении (4.52), на основании принципа суперпозиции получаем нелинейные уравнения для математических ожиданий и линейные уравнения для координатных функций:

(t = 1, . . , q\ v = 1, . . ., N).

Уравнения (4.56) и (4.57) связаны между собой, поэтому их необходимо интегрировать совместно при учете формул (4.54) и формулы для компонентов матрицы коэффициентов корреляции

Уравнения (4.56) п (4.57) необходимо интегрировать при опреде­ ленных начальных условиях. Начальные условия выбирают анало­ гично тому, как это делается для линейных многомерных систем.

Таким образом, при использовании изложенного метода для анализа нелинейной многомерной системы необходимо совместно

обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка при учете формул (4.53), (4.54) и (4.56), где q — число внешних входных возмущений и число уравнений в исходной системе; N — число членов разложения /-возмущения. При этом определяются математические ожидания ту. (/) и координатные функции yiv (t), входящие в фор­

мулу (4.55), а также корреляционные моменты.

Если для нелинейной системы по некоторым выходам задана идеальная операция, то аналогично тому, как это делается для линей­ ной системы, на основании формул (2.2) определяют систематические ошибки, а на основании формул (2.4) находят дисперсии ошибок.

4.5. Метод интегрирования уравнений моментов

Метод уравнений моментов, изложенный в и. 2.6 примени­ тельно к линейным динамическим системам, как приближенный может быть распространен на нелинейные динамические системы [1 ]. При этом уравнения нестационарной нелинейной динамической системы должны быть приведены к канонической форме

совы бс-лые шумы с заданными математическими ожиданиями и интенсивностями; bk (/) — известные функции времени. Заданы математические ожидания, дисперсии и моменты связи начальных случайных условий mUh (0), (0) (£, k = 1, . . ., /г).

Для применения метода моментов уравнения (4.58) необходимо линеаризовать. В общем случае при наличии произвольных функ­ ций ф/г применим их статистическую линеаризацию. В результате запишем уравнение в следующем виде:

130

тического ожидания к уравнениям (4.59), запишем систему нелиней­ ных уравнений для математических ожиданий переменных:

(/г = 1, . . , я).

Эти уравнения следует интегрировать при начальных условиях

тУк (0), k = 1, . . ., я.

Уравнения для центрированных составляющих линейны и по­ лучаются путем почленного вычитания из уравнений (4.59) (4.60):

с помощью которых получаются уравнения для корреляционных моментов переменных. Применив эти преобразования, в соответ­ ствии с формулами (2.66)—(2.73) получим в рассматриваемом случае следующие уравнения для корреляционных моментов:

Уравнения (4.62) интегрируют при начальных условиях

образом, число независимых уравнений для корреляционных мо­

Полученные уравнения (4.60) и (4.62), общее число, которых равно я (я + 3)/2, являются связанными через функции срА0 и kkr, зависящие от математических ожиданий и корреляционных момен­ тов связи переменных. Поэтому к этим уравнениям необходимо при­ соединить выражения для фА0 и kkr:

В результате совместного однократного интегрирования уравне­ ний (4.60), (4.62) при заданных начальных условиях определяются математические ожидания и корреляционные моменты, в том числе и дисперсии всех переменных как функции времени.

Изложенный способ вероятностного анализа нелинейных неста­ ционарных динамических систем приводит к необходимости совмест­ ного однократного интегрирования большого числа линейных обыкно­ венных дифференциальных уравнений для моментов. Его можно сравнить с методом интегрирования уравнений для координатных функций, при использовании которого для анализа нелинейных систем также необходимо совместно интегрировать большое число дифференциальных уравнений. Объем вычислений определяется главным образом порядком совместно интегрируемых уравнений. Из этого сравнения вытекает, что число совместно интегрируемых уравне­ ний в методе моментов получается больше или меньше, чем в методе координатных функций, в зависимости от выполнения неравенства

где п — число уравнений в исходной системе (4.58);

N — число случайных параметров во внешних возмущениях. Если исследуемая система стационарна и устойчива, а случайные

возмущения являются стационарными белыми шумами, то, прирав­ нивая в уравнениях (4.60) и (4.62) правые части к нулю, получаем систему уравнений для определения моментов в установившемся режиме:

Эти уравнения в общем случае могут быть решены методом после­ довательных приближений.

Точность системы по любой из переменных оценивается также по формулам (2.2) и (2.4).

Рассмотренный метод анализа применим и в том случае, когда входные сигналы Vk (t) представляют собой линейные многочлены со случайными параметрами. Соответствующие уравнения могут быть получены с помощью процедуры, описанной в п. 2.6. Однако полу­ чающиеся уравнения необходимо также интегрировать совместно, так как они связаны через функции срА0 и статистические коэффи­ циенты усиления kkr.

4.6. Метод статистических испытаний

Изложенные методы вероятностного исследования нелинейных систем являются приближенными. Они основаны на использовании приближенных уравнений, описывающих процессы в системе, по­ этому нуждаются в оценках получаемых результатов с точки зрения их точности и достоверности. Кроме того, в некоторых случаях, когда система или ее часть представлена реальной аппаратурой или

132