Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 187

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

неизвестны характеристики возмущений, методы, основанные на анализе уравнений, не применимы.

В этих случаях может быть использован метод статистических испытаний, который состоит в непосредственном моделировании системы в условиях, близких к реальным, с учетом всех случайных возмущений. В качестве модели системы может быть использована частично или полностью реальная аппаратура или математическая модель — дифференциальные уравнения, решаемые на математи­ ческой машине. При этом на входы системы подаются реализации случайных возмущений от специальных генераторов случайных процессов. Результаты многократного эксперимента с моделью под­ вергаются обработке методами математической статистики с целью получения оценок для вероятностных моментов и законов распреде­ ления переменных.

Метод статистических испытаний может быть применен как к нелинейным, так и к линейным системам. При использовании этого метода для анализа нелинейных систем в каждом испытании следует учитывать всю совокупность действующих возмущений, так как для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется.

Пусть на каждый вход некоторой нелинейной системы в каждом опыте подаются реализации случайных функций и выполняются измерения реализации выходных переменных.

Рассмотрим одни выход случайной функции Y (t). Проделав п опытов, можно плучить п реализаций yr (t) случайной функции Y (t) на выходе системы. Пользуясь известными формулами математиче­ ской статистики, получим для выходной переменной Y (t) оценки

математического ожидания ту (/) и дисперсии (/):

S [lJr{t)— my {t)Y.

Точность получаемых оценок математического ожидания и дис­ персии зависит от числа п проведенных опытов. Она характеризуется средними квадратическими отклонениями оценок на основании формул математической статистики:

где Dy (t) — истинная дисперсия функции Y (t). Заменив в фор­

мулах (4.64) неизвестную величину Dy (t) ее оценкой Dy (t), получим абсолютные средние квадратические отклонения оценок.

Из полученных формул можно найти также относительные сред­ ние квадратические отклонения:

U _

• .

2

(4.65)

УЩЩ ~

y h

п — 1■

 

133


Более полная оценка точности статистических результатов может быть получена на основе вычисления доверительных вероятностей

различных отклонений оценок ту (/) и D*y (t) от соответствующих истинных вероятностных характеристик. Эти вероятности могут быть оценены приближенно при условии, что законы распределения самих оценок близки к нормальным, по следующим формулам:

ai = Р (| niy (t) — ту (t) | < ei) = 2Ф /

\ т'у

а 2= Я ( |д ; (0 — Dy (t) | < &>) = 2йУ

где а х, а 2 — доверительные вероятности; 8lt е2— заданные гра­ ницы отклонения оценок. Подставляя в формулы (4.66) выражения (4.64) и вводя обозначения для относительных отклонений

V, = V Dy (/) ’

V , =

(4.67)

Dy

получаем выражения для доверительных вероятностей

а ± = 2 c D ( vУп ) \

а 2 =

2 Фj / '^—2у — j •

В табл. 4.1 и 4.2 даны числа испытаний п в зависимости от задан­ ных доверительных вероятностей а х и а 2, характеризующих надеж­ ность полученных результатов, и относительных отклонений va и v 2, характеризующих их точность. Таблицы показывают, что с повыше­ нием требований к точности и надежности результатов необходимое число испытаний резко возрастает.

Таблица 4.1

\VI

0 , 2 0 ,1 5 0 ,1 0 0 ,0 5 0 ,0 1

а ,

0,6

18

31

70

281

7 000

0,7

27

47

108

431

10 800

0,8

41

73

164

651

16 400

0,9

68

121

272

1090

27 200

134


 

 

 

 

Таблица 4.2

 

0,2

0,15

0,10

0,05

0,01

ССз

 

 

 

 

 

0,6

37

63

141

563

14 000

0,7

55

95

217

863

21 600

0,8

83

147

239

1300

32 800

0,9

137

243

545

2180

54 400

В тех случаях, когда требуется оценить закон распределения выходной переменной У (/) системы, результаты испытаний под­ вергаются дополнительной обработке. Весь диапазон наблюдаемых значений Уделят на интервалы (разряды), и при каждом фиксирован­ ном значении времени t подсчитывают число mi значений, приходя­ щихся на t-й интервал. Это число делят на общее число наблюдений. В результате получают частоту появления величины, соответствую­ щей данному разряду (i/,., y i+1)\

Таблица вычисленных частот по разрядам называется статистаческим рядом, а графическое ее изображение — гистограммой. Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают разряды, и на каждом из разрядов, как

на основании Ду = yi+1— y t, строят прямоугольник, пло­ щадь которого равна частоте разряда (рис. 4.3). Из гисто­ граммы следует, что площадь, ограниченная гистограммой, равна 1.

При увеличении числа опы­ тов величину разрядов можно уменьшить, а число их увели­ чивать. При этом гистограмма будет приближаться к некото-

Рис. 4.3. Гистограмма

135


рой кривой, которая представляет собой график оценки плотности

распределения fy (t, у) функции Y (i) при фиксированном t.

Для получения достаточно достоверных оценок функции распре­ деления требуется еще большее число опытов по сравнению с числом опытов при определении оценок математического ожидания и дис­ персии заданных точности и надежности результатов.

При обработке результатов статистических испытаний следует учитывать также ошибки самой модели, т. е. для получения надеж­ ных оценок необходимо еще большее увеличение числа опытов.

Несмотря на универсальность метода статистических испытаний, он имеет ряд недостатков. Основными недостатками являются гро­ моздкость модели, включающей также генераторы случайных воз­ мущений, и необходимость большого числа испытаний и, следова­ тельно, большая трудоемкость. Все это ограничивает применимость метода.

Г л а в а 5

НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ

5.1. Безынерционные нелинейности

Рассмотрим процедуру вычисления вероятностных характеристик выходных сигналов безынерционных нелинейностей на примере звена с насыщением (ограничителя), характеристика которого изобра­ жена на рис. 5.1. На вход нелинейного элемента поступает случай­ ный процесс, имеющий математическое ожидание tnx(t), корреля­ ционную функцию К х (t, f) и одномерную плотность вероятности

О- На рис. 5.1. показано прохождение реализации случайного про­

цесса через ограничитель. Непосредственное графическое построение реализации случайного процесса на выходе показывает, что имеет место существенное изменение выходной реализации. Уменьшается математическое ожидание выходного сигнала, деформируется плот­ ность вероятности и корреляционная функция.

Вычислим одномерную плотность вероятности выходного сигнала ограничителя, воспользовавшись результатами п. 4.2. В соответ­ ствии с общей формулой имеем

(у) = JСО fx (х) б (у — ф (х)) dx.

(5.1)

Характеристика ограничителя описывается выражением

 

I

х < — d,

Ф (х) =

х

\х\

(5.2)

 

I

х >

d.

Подставляя в формулу (5.1) выражение (5.2), получаем сумму трех интегралов:

—d

 

+<г

 

fy (У) = j

fx (х) б (у + /) dx + J fx (х) б ( у ---- -- х )

dx +

— со

 

— d

 

 

+

fxJ (х ) 5 (у I) dx.

(5.3)

 

 

+ d

 

137


Рис. 5.1. Прохождение реализации

случайного сигнала через ограни­ читель

Первый и третий интегралы в данном выражении соответственно равны:

 

- d

fx (х) б (у +

 

 

Р 1 6

Н- /);

 

 

j

1) dx =

 

 

— со

 

 

 

 

 

 

 

2б (f/

 

 

 

 

соJ

/л- (X) б ( у —

I)

dx =

р

-

/),

(5.4)

где

+d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi =

fx (x) dx;

p 2 = соJ

fx (x)

dx.

(5.5)

 

 

 

•—co

 

 

 

-\-d

 

 

 

Второй интеграл в формуле (5.3) преобразуем с заменой перемен­

ной | = у Ixld;

dx — (dll)

 

 

 

 

 

 

+d

(u -

 

-f*)

 

 

y+l

(4 (»-

a)6®Щ-

<5-6>

J/, w e

 

=

4 -

J

—d

 

 

 

 

 

 

y —l

 

 

 

 

 

При у - l <

i <

У + l

подынтегральное

 

выражение

равно

плотности вероятности входного сигнала. Учитывая свойство б- функции, получаем

-\-d

т fx (~T y)

\ y \ < 1

(5.7)

j

dx =

 

-d

о

\ у \ > 1.

 

Таким образом, плотность вероятности сигнала на выходе огра­ ничителя представляет собой сумму двух б-функций, приложенных

138