Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

в точках у — ± / и непрерывной части — плотности вероятности входного сигнала на интервале — I < !/< < /:

Рассмотренный процесс вычисления плотности вероятности сиг­ нала на выходе нелинейности может быть выполнен графически. Для этого необходимо воспользоваться формулой

где ф (у) = ф-1 (у) — обратная зависимость между входным и вы­ ходным сигналами нелинейности. Вычисления по формуле (5.9) выполняют графически. В табл. 5.1 показана процедура графического вычисления для различных нелинейностей. По данной нелинейности строят обратную функцию (в табл. 5.1 вычисления осуществляются слева направо). Далее вычисляют модуль производной обратной функции непосредственно графическим путем. Затем перемножают графики плотности вероятности входного сигнала и модуль произ­ водной обратной функции. В этой таблице приведены вычисления плотности вероятности выходного сигнала для десяти типовых нели­ нейностей, часто встречающихся в инженерной практике.

Рассмотрим задачу вычисления моментов выходных сигналов нелинейных безынерционных элементов. Проиллюстрируем процесс вычисления на примере ограничителя. Используя формулу для плотности вероятности (5.8), определяем математическое ожидание выходного сигнала:

СО I

-1

Вчастном случае при нормальном законе распределения вероят­ ности входного сигнала математическое ожидание

139

Таблицы функций Ф (z), Ф' (z) даны в приложениях 4, 5. Если математическое ожидание входного сигнала равно нулю, то, как это следует из формулы (5.11), математическое ожидание выходного сигнала также равно нулю. Дисперсия выходного сигнала

со

Вычисляя последний интеграл для частного случая нормального закона распределения вероятности входного сигнала, получаем

Вычислим корреляционную функцию выходного сигнала огра­ ничителя. По определению корреляционной функции стационарного случайного процесса имеем

где индексом т отмечено значение входной переменной в момент времени t + т. Непосредственно использовать формулу (5.15) для вычисления очень сложно. Процесс вычисления существенно упро­ щается, если двумерную плотность вероятности нормального слу­ чайного процесса, имеющего нулевое математическое ожидание, представить следующим рядом [39]:

142

* = 1

Но первый член в данном выражении есть квадрат математи­ ческого ожидания выходного сигнала, и формула для корреляцион­ ной функции принимает следующий окончательный вид:

к~\

Интеграл удобно вычислять по частям. Обозначая ф (х) — и и

Число интегрирований по частям v следует выбирать таким, чтобы ф(у) (х) превратилось в сумму 6-функций. В этом случае инте­ грал (5.19) будет выражен через производные функции Лапласа.

Для ограничителя двойное дифференцирование характеристики приводит к следующему выражению:

Следовательно, v = 2, и выражение для корреляционной функции выходного сигнала ограничителя принимает вид

143

Из этой формулы следует, что при к четном ак = 0. С увеличе­ нием к коэффициенты ак быстро убывают. Поэтому для вычисления корреляционной функции достаточно учитывать в сумме очень небольшое число членов (обычно не более трех).

Спектральная плотность выходного сигнала ограничителя опре­ деляется преобразованием Фурье корреляционной функции:

По рассмотренной выше процедуре для ряда типовых нелинейно" стей вычислены математические ожидания и корреляционные функцин выходных сигналов для нормального входного случайного сиг­ нала с нулевым математическим ожиданием. Результаты расчетов сведены в табл. 5.2. Дисперсия выходного сигнала определяется значением корреляционной функции при нулевом значении аргу­ мента (т = 0).

Математическое ожидание и корреляционную функцию выходного сигнала безынерционного нелинейного элемента можно приближенно вычислить, пользуясь методом статистической линеаризации. В соот­

Используя это соотношение, получим следующие формулы для математического ожидания и корреляционной функции выходного

ризации, явные выражения которых для часто встречающихся нели­ нейностей приведены в приложении 3.

5.2. Релейная следящая система

Простейшая модель следящей релейной системы включает инте­ грирующее звено и релейный элемент с зоной нечувствительности в цепи обратной связи (рис. 5.2). На вход системы подается стацио­ нарный случайный сигнал с математическим ожиданием тх и корре­ ляционной функцией kx (т) = Gx 6 (т). Определим математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала, пользуясь методом ста­ тистической линеаризации.