Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Выполняя статистическую линеаризацию нелинейности, полу­

где параметры линеаризации в соответствии с приложением 3 соот­

Подставляя выражение (5.29) в уравнение (5.28), после преобра­

Применяя операцию математического ожидания, получаем нели­ нейное дифференциальное уравнение относительно математического

Для получения уравнения относительно этой дисперсии центрируем уравнение (5.30):

Применим метод уравнений моментов. В результате получаем следующее нелинейное уравнение относительно дисперсии выходного

146

В установившемся режиме получаем следующие уравнения:

т У = k 0 (т у* Dy) ' 2 T k L (гпу, Du) ' ( 5 ‘ 3 4 )

Данную систему целесообразно решать графически так, как это изложено в п. 4.3.

Рассмотрим второй частный случай, когда математическое ожи­ дание входного сигнала равно нулю. Поскольку нелинейность в дан­ ной задаче симметричная, то математическое ожидание выходного сигнала в установившемся режиме также равно нулю. Поэтому для

С течением времени дисперсия неограниченно возрастает.

Если зона нечувствительности равна нулю {d = 0), что соответ­ ствует случаю идеального реле, то коэффициент статистической ли­

это уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл данного уравнения имеет вид

где zQ— начальное значение переменной; t0— начальный момент времени. Переходя с помощью соотношения (5.38) к старой перемен­ ной — среднему квадратическому отклонению выходного сигнала и преобразовывая уравнение (5.40), получаем окончательное решение:

новившемся значении выходной переменной известно точное решение для плотности вероятности, полученное В. С. Пугачевым с помощью теории марковских случайных процессов. Точное значение среднего

что составляет около 11%. Учитывая неточность исходных данных, всегда имеющую место при инженерных расчетах, следует признать полученные результаты удовлетворительными.

5.3. Автоколебательная система

Рассмотрим задачу определения вероятностных характеристик выходного сигнала нелинейной автоматической системы, структур­ ная схема которой изображена на рис. 5.3 [27, 28]. К данной схеме можно привести некоторые следя­ щие системы, имеющие чувствитель­ ный элемент релейного типа. На входе системы действует случайное возмущение типа белого шума с ма­ тематическим ожиданием mN и интен-

. Рис. 5.3. Автоколебательная система

148

сивностью Gn. Исследование проведем методами статистической линеаризации и уравнений моментов (см. п. 4.8).

Уравнения системы имеют вид

где нелинейная функция есть идеальная релейная характеристика

Ф (y i) = I sign Y v

Выполняя статистическую линеаризацию этой нелинейности, заменим ее выражением

с приложением 3 определяются формулами

2

(5.47)

Подставляя значение нелинейной функции (5.46) в уравнения (5.45) и применяя к ним операцию математического ожидания, полу­ чаем

Уравнения для корреляционных моментов составим на основе уравнения (2.73). В результате получаем

=- —2 с 1&10 1з 2 с 20 23'— 2 с 30 3з +

где сх = k/T0T 2\ с2 = 1/Г 2; с3 = 2/Т.

Корреляционные функции переменных системы (5.45) можно

149

K»(t,0)

Рис. 5.4. Сечение корреляционной функции

Корреляционные моменты в данном выражении определяются при совместном интегрировании систем (5.47), (5.48). Весовые функции в (5.50) вычисляют путем интегрирования системы уравнений

ции giз (t, У) {i — 1, 2, 3). При вычислении весовых функций для различных значений второго аргумента следует начинать интегри­ рование в момент У, что практически осуществляется сдвигом пере­ менных коэффициентов на это время.

Поскольку в систему уравнений (5.51) входит коэффициент ста­ тистической линеаризации, зависящей от математического ожидания и дисперсии выходной переменной, то эту систему необходимо инте­ грировать совместно с уравнениями (5.48) , (5,49).

Перемножая весовые функции gn (t, У) на величины 01;- (/') и суммируя произведения, получаем корреляционную функцию Кц (t, У) в области t > У. Используя свойство симметрии, нетрудно по­ строить корреляционную функцию в области У > t.

В качестве примера по данной схеме рассчитано одно сечение кор­ реляционной функции КXI (У 0) в области t )>0 при mN = О. Слг —

150