Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

мехи.

Анализ результатов вычисления показывает, что в данной системе после включения имеет место переходный процесс. Время переход­ ного процесса дисперсии и корреляционной функции существенно зависит от интенсивности помехи. При отсутствии возмущения (GN = = 0) переходный процесс по дисперсии затухает, а весовая функция

ственно следует из рис. 5.4. Таким образом, корреляционная функ­ ция К 11 {t, 0) при отсутствии случайного возмущения характеризует процесс развития автоколебаний в данной системе.

При действии случайного возмущения весовая функция g ^ (t, 0) затухает до нуля, причем время затухания тем меньше, чем больше интенсивность возмущения. На первый взгляд кажется странным что весовая функция статистически линеаризованной автоколебательной системы затухает, поскольку она является частным интегралом си­ стемы (5.51), не содержащей входного возмущения. Объяснение данному факту можно дать, если учесть, что коэффициент статисти­ ческой линеаризации зависит от математического ожидания и дис­ персии выходной координаты. Изменение этого коэффициента во времени в соответствии с изменением дисперсии выходной перемен­ ной (при расчете принято mN = 0) приводит к демпфированию коле­ баний в системе, и весовая функция g ^ (t, 0) стремится к нулю при t —>оо. Демпфирование тем сильнее, чем больше интенсивность воз­ мущения, поскольку это увеличивает дисперсию 0ц.

Рассмотрим далее установившийся режим работы системы для случая, когда математическое ожидание входного возмущения равно нулю. Определим дисперсию и спектральную плотность выходной координаты.

Передаточная функция статистически линеаризованной системы

151

Вычислим дисперсию выходной переменной, воспользовавшись формулой

из выражения (5.52) и постоянную спектральную плотность белого шума SN — GN/2n. Воспользовавшись значениями интегралов от дробно-рациональных функций, приведенных в приложении 2, получаем

Решая уравнения (5.53), (5.55) относительно среднего квадрати­ ческого отклонения и коэффициента статистической линеаризации, находим

где параметр ц характеризует интенсивность входного случайного возмущения,

Спектральная плотность выходной переменной

Подставляя в формулу для частотной характеристики значение коэффициента статистической линеаризации (5.56) и вычисляя квад­ рат модуля, получаем следующее выражение для спектральной плот­ ности выходного сигнала:

Исследуем зависимость спектральной плотности от частоты и па­ раметров системы. При со = 0 спектральная плотность

Sy (0) = /e W p (1 + p)2/4jx27l.

При со = оо Sy {оо) = 0. Спектральная плотность имеет мак­ симум на частоте сот , определяемой из уравнения (d,Sy/d(d)am = 0.

Выполняя дифференцирование и решая уравнение, получаем сле­ дующую формулу для частоты точки экстремума:

152

Максимальная величина спектральной плотности

тральной плотности находится в нуле.

При уменьшении интенсивности помехи (р —>0) максимум спек­ тральной плотности смещается вправо и уменьшается до некоторого значения, а затем вновь увеличивается. При отсутствии случайного возмущения (р = 0) спектральная плотность превращается в 6-функ- цню в точках со = ±1/7\ В этом можно убедиться, анализируя выражения (5.59), (5.60), (5.61) при р —»0. Вычисляя неопределен­ ность в выражении (5.59) при р —>0, получаем

График спектральной плотности в относительных единицах при различных значениях параметра р в области положительных частот представлен на рис. 5.6. При интенсивности помехи = 0,1 и ука­ занных выше значениях параметров имеем р = 0,323. По формуле (5.60) резонансная частота а тТ = ±0,891. Таким образом, сдвиг частоты по отношению к частоте собственных автоколебаний, имею­ щим место при отсутствии шума, составляет А = +0,109.

153

с методом гармонической линеаризации приравниваем к нулю дей­ ствительную и мнимую части характеристического уравнения и полу­ чаем два уравнения относительно частоты и амплитуды автоколеба­ ний:

Подставляя значение амплитуды в формулу для коэффициента

Сравнивая это выражение с выражением для коэффициента ста­ тистической линеаризации при р = 0, убеждаемся, что эти коэф­ фициенты совпадают. Это подтверждает известный факт, что гармо­ ническая линеаризация является частным случаем статистической линеаризации,.

Равенство коэффициентов статистической и гармонической лине­ аризации при отсутствии случайных возмущений позволяет выразить амплитуду автоколебаний через среднее квадратическое отклонение. Приравнивая коэффициенты статистической и гармонической лине­ аризации, определяем амплитуду автоколебаний как функцию среднего квадратического отклонения:

тривать его как процесс со случайной фазой, распределенной в ин­ тервале 0 — 2я, связана с амплитудой сигнала соотношением

погрешностью метода статистической линеаризации, постулирую­ щего нормальный закон распределения входного сигнала нелиней­ ности. В данном случае закон распределения гармонического сигнала

154