Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

сильно отличается от нормального, однако различие в формулах

(5.68), (5.69) невелико.

Рассмотренный пример анализа автоколебательной системы с уче­ том случайных возмущений показывает, что нет необходимости в совместном применении статистической и гармонической линеари­ зации. Достаточно только использовать статистическую линеариза­ цию.. При совместном использовании двух линеаризаций в выходной сигнал включается гармоническая составляющая с частотой колеба­ ний. Из рис. 5.6 следует, что положение максимума спектральной плотности зависит от интенсивности помехи и не совпадает с резо­ нансной частотой без помех Поэтому детерминированная гармони­ ческая составляющая на данной частоте является фиктивной.

5.4. Ламповый генератор

Примером автоколебательной системы является генератор гар­ монических колебаний, одна из простейших схем которого пред­ ставлена на рис. 5.7. Колебательный контур включен в цепи анода. Величины сопротивлений конденсаторов Си С2 для переменной составляющей тока малы, а сопротивление R 1 велико, поэтому схема генератора может быть упрощена и представлена в виде схемы, изображенной на рис. 5.8. Эта схема составлена с учетом только пере­ менной составляющей тока.

Уравнения токов и напряжений имеют вид

155'

где приняты следующие обозначения: L, R, С — параметры коле­ бательного контура; М — взаимная индуктивность катушек; / а — постоянный анодный ток; I — ток через индуктивность контура; i — дробовой шум; ETl — э. д. с. теплового шума сопротивления потерь R контура; Ег„— э. д. с. теплового шума активного сопро­ тивления катушки обратной связи; 5 — крутизна характеристики лампы; [} — коэффициент нелинейности; и — напряжение на сетке

лампы.

Разрешая систему уравнений (5.70) относительно напряжения, получаем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

- g ------к - g - + + i - V2 4 г Ф («) = “ о т (5-71)

Нелинейность имеет вид кубической параболы ср (и) = и3. Вследствие малости параметра 0 можно считать, что MS ^ RC,

поэтому приближенно индуктивность М = RC/S. С учетом этого случайное возмущение (5.73) можно представить в следующем виде:

Для выполнения расчетов возмущение, описываемое формулой (5.74), можно рассматривать как белый шум с постоянной спектраль­ ной плотностью SE (со0). Для вычисления данной величины примем, что

где Rc — сопротивление цепи обратной связи; е — заряд электрона;

В соответствии с формулой (5.74) спектральная плотность суммарного возмущения

156

где

4£7V?c + 4jfe77?(-g-)2' .

Полагая в уравнении (5.76) со = со0, получаем следующее выра­ жение для уровня спектральной плотности:

Приближенно можно считать, что отношение сопротивлений

Подставляя значение R c из данного равенства в первый член фор­ мулы (5.78), получаем

выражения (5.80) составляет 1 : 333 : 1,3-10s. Следовательно, основ­ ной вклад в спектральную плотность вносит дробовой шум. Если учитывать только дробовой шум, то уровень спектральной плот­ ности составляет SE (со0) = 2eI0r 2R/S2Z ^ 7- 10~21В2-с.

Проведем статистическое исследование лампового генератора с помощью метода статистической линеаризации. В рассматриваемом случае математическое ожидание входного сигнала равно нулю, а нелинейность нечетная и симметричная. Поэтому математическое ожидание напряжения на сетке лампы также равно нулю (напомним, что учитываются только переменные составляющие). С учетом равен­ ства нулю математического ожидания входного сигнала нелиней­ ности представим ее уравнение разложением

157

Вычислим дисперсию напряжения по известной формуле

В результате вычислений с использованием таблицы интегралов приложения 2 получаем квадратное уравнение относительно диспер­ сии. Решая это уравнение, получаем

Спектральная плотность переменного напряжения на сетке лампы

Вычисляя квадрат модуля частотной характеристики и подстав­ ляя значение дисперсии напряжения в соответствии с формулой (5.86), получаем следующее выражение для спектральной плотности сеточ­ ного напряжения генератора:

График этой зависимо­ сти при j . i = l и v = var представлен на рис. 5.9. Спектральная плотность имеет максимумы на ча­ стотах ± ыт. Дифферен­ цируя спектральную плот­ ность по частоте, прирав­ нивая производную к ну­ лю и решая уравнение от­ носительно частоты экст-

Рис. 5.9. График спектральной плот­ ности сеточного напряжения гене­ ратора

158

Естественную ширину спектральной линии генератора, обу­ словленную собственными шумами, можно определить, приравни­ вая спектральную плотность к определенной величине. Удобно в ка­ честве такой величины рассматривать половину максимального зна­ чения спектральной плотности. Приравнивая выражение (5.88) к половине максимального значения Su (со,,,), получаем биквадратное уравнение, определяющее четыре значения частоты, соответствую­ щие точкам пересечения кривой спектральной плотности с прямой, параллельной оси абсцисс:

где z = co/co0.

Поскольку спектральная плотность симметрична относительно оси ординат, то для определения уширения спектральной линии

При уменьшении интенсивности помехи резонансная частота спектральной плотности стремится к частоте со0, а высота пика воз­ растает. Спектральная плотность имеет вид узкого пика с пьедеста­ лом небольшого уровня. При увеличении интенсивности шума ре­ зонансная частота колебаний генератора отклоняется в сторону меньших частот от частоты <в0. Одновременно при этом увеличи­ вается ширина спектральной линии. При отсутствии шума спектраль­ ная плотность вырождается в 8-функцию на частотах ±со0.

159

5 .5 . С истем а ст а б и л и за ц и и угл а крена

Линейная модель системы стабилизации летательного аппарата по крену была рассмотрена в п. 3.5. В действительности углы откло­ нения элеронов всегда ограничены. Кроме того, вследствие конечной мощности привода ограничена также максимальная скорость вра­ щения элеронов. Наличие ограничений приводит к необходимости применения нелинейной модели, что особенно существенно при боль­ ших возмущающих моментах, действующих на летательный аппарат. Расчет системы стабилизации при использовании линейной модели в этом случае значительно отличается от результатов анализа нели­ нейной системы.

Рассмотрим анализ системы стабилизации летательного аппарата по крену при учете только ограничения по углу отклонения элеронов. Движение летательного аппарата по углу крена у описывается урав­ нением

/8 > d .

Вуравнении (5.93) ахх, ахъ — коэффициенты, характеризующие динамические свойства объекта; X (t) — внешнее возмущение в еди­ ницах углового ускорения, имеющее нулевое математическое ожи­ дание и постоянную спектральную плотность Sx.

Всостав системы стабилизации входят измерители угла крена и его производной, усилители мощности и привод. Динамические свойства всех перечисленных элементов достаточно хорошо описы­ ваются уравнением

и усилителей. Структурная схема системы стабилизации приведена на рис. 5.10.

Рис. 5.10. ьСхсма системы стабилизации крена

160