Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 193
Скачиваний: 1
Выполним статистическую линеаризацию нелинейной зависи
мости (5.94). В результате получим |
|
|
|
ф (б) = |
(О, D6) б°, |
' |
(5.96) |
где коэффициент статистической линеаризации |
|
||
Л1(0,1>в) = - |- ф ( - А - ) . |
|
(5.97) |
|
Подставляя выражение (5.96) в уравнение (5.93), получаем |
|
||
У + ахху = |
— aX3k ! 6 + X |
(1). |
(5.98) |
Решая уравнения (5.95), (5.98) относительно угла крема, полу
чаем следующее уравнение: |
|
|
Ту + (1 + |
аххТ)‘у + (ахх + а„/г6М |
2) у + |
+ |
aX3k6k 1k 1у = ТХ + X. |
(5:99) |
Для установившегося режима дисперсию угла крена вычисляют
по формуле |
|
|
|
|
|
D __<к. [ |
х |
|
|
||
и У ~ 2 к |
J |
Х |
|
|
|
_________ | Т ш + 1 |2da______________________ |
(5.100) |
||||
| Т (ш )2 + (1 + аХхТ) (itt)2+ (ахх + |
aX3k6ft^ 2) ш + |
I2 |
|||
|
|||||
где Gx — интенсивность входного белого шума X (t). Представляя числитель и знаменатель подынтегрального, выражения в виде поли номов
g (гео) = 1— (tсо)2 Г2; |
|
|
h (гсо) = Т (ш )3 -+- (1 + |
аххТ) (гсо)2 + |
(5.101) |
|
|
|
+ (ахх + aX3k^klk 2) t'co |
+ aX3k6k Ji1 |
|
и сравнивая с общими выражениями этих полиномов, приведенными в приложении 2, получаем значения коэффициентов при п = 3:
Ь0 — 0; |
Ь1 = |
—Г2; |
b2= 1; а0 |
= Т\ |
|
ах = 1 + |
аххТ\ |
а2 = |
a,VA- + k ^ a |
j i ^ |
(5.102) |
а3 = (з:Дэ^6^ 1/г1.
Врезультате подстановки этих коэффициентов в формулу для
значения интеграла / 3 получаем следующее выражение для диспер сии угла крена при постоянном значении коэффициента статистиче ской линеаризации:
DV = G, |
|
1 + |
аххТ + |
а ^ Г -kk,___________ |
(5.103) |
|
аххГ) ( ахх “ г ахъ'^к1) Т ax3kk^\ |
||||
2ахэк1г1 [(1 |
+ |
|
|||
где введены обозначения |
k |
= |
k xk6\ |
т = k6k 2- |
|
11 В. С. Пугачев |
161 |
Для определения дисперсии угла крена учтем зависимость коэффи циента линеаризации (5.97) от среднего квадратического отклонения угла элеронов и выразим его через среднее квадратическое отклоне ние угла крена. Это удобно сделать, вычислив дисперсию угла откло
нения элеронов.
Передаточная функция от входного возмущения X (t) к углу отклонения элеронов
ф(s) = ---------------------- + M — =-------------------- (5 .104)
Тs3 -j- (1 -(- аххТ) s'- -f- (ахх + ax3kьк-^к^) s Н~ ахэ^1^&к1
Вычислим дисперсию угла отклонения руля. Используя переда точную функцию (5.104), получаем
D |
__ G* |
Г |
________________ к11к\ + V м Г йш_________________ |
|||
6 |
2л |
J |
[7 (/со)3 j_ (1 j_ аххТ) (ico)3 + (0^ |
+ ox3k{,k„kj) /со + |
ахэк1к(,к1 |- |
|
|
|
|
|
|
|
(5.105) |
После вычислений найдем, что |
|
|
|
|||
|
|
£) |
— Q _ _ _ _ _ _ _ _& U + аххТ) + |
ах ъ |
_ _ _ _ _ _ _ |
(5.106) |
|
|
|
2 аХъкх [(1 + Q-xsJ') (ахх + |
ахэх^\) |
ахэТкк1 |
|
Коэффициент статистической линеаризации k 1 в этом выражении вычисляют по формуле (5.97), в которую входит среднее квадрати ческое отклонение угла элеронов. Таким образом, соотношения (5.97) и (5.106) образуют нелинейную систему уравнений относительно
коэффициента k-y и среднего квадратического отклонения элеро нов.
Решив эти уравнения относительно среднего квадратического от
клонения элеронов, необходимо подставить это значение в |
формулу |
||||||||
(5.103). В результате вычисляется дисперсия угла крена. |
|
[27]: |
|||||||
Рассмотрим |
числовой |
пример |
при |
следующих данных |
|||||
4 с - 1. |
аХэ = 40 с" |
Т '= |
0,05 |
с; |
Gx = |
2nS, |
= |
1,256 |
с ’ 3; |
|
|
I = d = |
10 |
град; |
k = |
5,0; т = |
0,4. |
||
№ |
|
|
|
При |
этих |
данных |
формула (5.106) |
|
|
|
|
принимает |
вид |
|
|
0,Oil |
|
|
|
Об = |
0,314 |
3 + |
6,4Ф(Ю/аб) |
|
|
|
|
80 [1,2 + 4,6Ф (10/(7б)] Ф (10/о6) ' |
|||
0,03 |
|
|
/ |
|
|
|
(5.107) |
0,02 |
|
|
Введем |
обозначения |
|||
|
|
|
|
у |
2 |
||
|
|
/ |
1 |
|
|
si — сгц; |
|
0,01 |
|
t __ п ч ц |
3 + |
6,4Ф (10/06) |
|||
|
|
1 |
|||||
|
|
ёа — |
’ |
80 [1,2 + 4,6Ф (1о/0б)] ф (10/аб) |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
О |
4 |
___ L |
|
|
|
|
|
6 |
б$8 бg ,град |
Рис. |
5.П. Графическое решение уравнений |
||||
162
и построим на одном графике кривые (ст6), £2 (а6). Точка пересе чения графиков дает решение задачи — среднее квадратическое от клонение элеронов. На рис. 5.11 показаны результаты расчетов по приведенным выше данным. Среднее квадратическое отклонение
элеронов составляет ад = 7,5 град.
Подставляя это значение в формулу для коэффициента k lt полу чаем к г = 0,823. В соответствии с формулой (5.103) дисперсия угла
крена для принятых данных |
Dy = 1,61 град2. Среднее квадрати |
ческое отклонение угла крена |
= 1,27 град. |
5.6. Система регулирования температуры
Рассмотрим систему регулирования температуры инерционного объекта, описываемого уравнением
(Тр + |
1) Ф = |
—kz + N (t), |
(5.108) |
где Т — постоянная времени; |
k — коэффициент |
усиления; z — |
|
координата регулятора; N |
(t) — внешнее возмущение, описывающее |
||
изменение температуры окружающей среды; Ф — изменение темпе ратуры объекта; р = d/dt.
В состав системы регулирования входят датчик температуры — биметаллическая пластинка с потенциометром, балансное реле и электродвигатель. Контактное устройство биметаллической пластины
вместе с балансным |
реле представляют собой нелинейный элемент |
|||
в виде реле с зоной |
нечувствительности |
(нелинейность 2, приложе |
||
ние 3). Работа регулятора |
описывается |
уравнением |
|
|
|
(Тыр + |
1) pz = йм<р (ktQ), |
(5.109) |
|
где Ты— электромеханическая постоянная привода; kM— переда точное число привода; kn— коэффициент передачи биметаллической пластины; ср (•) — характеристика реле с зоной нечувствительности;
|
— I |
М* < ~ d , |
|
||
Ф (k&) = |
0 |
| М 11< |
d, |
(5.110) |
|
|
/ |
k $ |
> |
d. |
|
Входной сигнал N (t) имеет нулевое |
математическое |
ожидание |
|||
и спектральную плотность: |
D^a |
1 |
|
|
|
SN(со) = |
со2 |
|
(5.111) |
||
|
л |
а2 + |
|
|
|
Определим дисперсию температуры объекта D$ в установившемся режиме.
Выполняя статистическую линеаризацию нелинейной характе ристики с учетом равенства нулю математического ожидания откло нения температуры объекта т$ = 0, получаем
Ф (ЛаФ) = k ^ ^ 0, |
(5.112) |
И* |
163 |
где параметр линеаризации
_ d
К (О, А>) = ■■ -2* ^ е |
. |
(5.113) |
k 2a $ V 2 л |
|
|
Подставляя выражение (5.112) в (5.109) и решая совместно по лученное уравнение с уравнением (5.108), получаем следующее урав нение работы замкнутой системы в операторной форме:
1ТТыр* + (Т + Т,)р* + р +
+"nkx \ Ф = (Тыр + 1) pN, |
(5.114) |
где п = kM 2k. Этому.-уравнению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 5.12, на которой операторным уравнениям (5.108), (5.109) поставлены в соответствие передаточные функции.
Дисперсия отклонения температуры в установившемся режиме
2D,\ja 2л
| ш (77м + 1) |2 |
dto. (5.115) |
|
I Т Т м О'м)3 + (Т + Т ы) (см)2 + im + n k 1 |2 (a 2 - f м 2) |
||
|
Представляя числитель и знаменатель в виде полиномов по сте пеням (со, получаем
D.
где
2D /Va |
7 |
Т м (tco)4 — (iM)2 |
, |
(5.116) |
2 л |
I |
/с (см)/с (— (м) |
|
|
|
’ |
|
|
h ((со) = |
7Т И((со)4 + |
[а7ТМ+ (Т + |
Тм) ] ((со)3 + |
|
|
|||
|
|
-Н а (Т + T J + |
1] ((со)2 + (а + n k j |
(со + n k xа. |
|
(5.117) |
||||
|
Сравнивая эти полиномы с приведенными в приложении 2 общими |
|||||||||
выражениями, |
получаем значения коэффициентов |
|
|
|||||||
|
|
|
|
Ьо = 0; Ь\ — Т1й Ь%= — 1; |
|
|
||||
|
|
Ь3 = |
0; |
а0 = |
7ТМ; |
яд = |
аТТм + |
(Т + 7 J; |
|
|
|
|
яд = 1 |
+ |
а (Т + |
Тм); |
а3 = а + nky |
я4 = пкга. |
|
||
|
Подставляя |
значения |
параметров |
в формулу для / 4, |
получаем |
|||||
следующее выражение для дисперсии отклонения температуры: |
||||||||||
п |
_ |
________ [Tl (а + nkl) + (ct7Tм + т+ Гм)]_____________ |
|
«1 1 04 |
||||||
* |
~ |
а \ Т ' + 7’м) [1 + |
а 2Т Т м -р а ( Г + |
Г*)] - |
n k x [а 7 Т н (I + а 27 Т м) + |
‘ |
1 0 > |
|||
|
|
|
+ |
(Т + Т м) (а*7Т„ - 1)] - |
7 Т М{ n k y y |
|
|
|||
Рис. 5.12. Структурная схема системы стабилизации температуры
164