Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

В частном случае, когда Тк < Т, можно пренебречь произведе­ нием постоянных времени. Тогда дисперсию вычисляют по более простой формуле

D N a [Т ы (“ + nk\) + Т -f тм]

(5.119)

~ (Т + Тм) {n/h + а [1 + а (Т + Тм)]}

Поскольку k y есть функция сто [см. (5.113)], то данное соотноше­ ние представляет собой нелинейное уравнение относительно вели­ чины D<>. Преобразуем соотношение (5.119) к виду

d2

* 2 / 2 я ( Г + .П З Г Ц - а С Г + Г м )]

Если d С 2kla\, то уравнение (5.120) превращается в кубиче­ ское уравнение относительно среднего квадратического отклонения температуры:

При известных параметрах данное уравнение легко решается. При условии Тм С Т можно пренебречь постоянной времени привода. В этом случае уравнение (5.121) превращается в следующее

соотношение:

среднее квадратическое значение колебаний температуры объекта Сто = 0,5 град. При а = 0,01 с-1 и тех же значениях остальных пара­

165

Г л а в а 6 М Е Т О Д Ы А Н А Л И З А Д И С К Р Е Т Н Ы Х СИСТЕМ

6.1. Преобразование случайных функций дискретными системами

К дискретным системам автоматического управления относятся си­ стемы, имеющие в своем составе импульсный элемент или цифровое вычислительное устройство.

Любая дискретная система преобразует непрерывные функции

впоследовательность величин, характеризующих состояние системы

вдискретные моменты времени. Это относится также к случайным процессам. Для описания случайных процессов в дискретных си­ стемах можно пользоваться теми же характеристиками, что и для непрерывных систем, если считать эти характеристики функциями дискретных аргументов. Так, математическим ожиданием случайной функции дискретного аргумента X (/г) будем называть такую функ­ цию тх (/г), которая при каждом значении аргумента А равна мате­ матическому ожиданию функции X (А) при данном А:

Корреляционной функцией случайной функции дискретного аргу­ мента X (А) называется функция, определяемая соотношением

Кх (А, Ах) = М ([X (А) — шх (А)] [X (А2) — mx (Ах)]).

Из этого выражения при Аг = А получаем дисперсию случайной функции X (/г).

Корреляционная функция случайной функции X (А, е), наблю­

Аналогично могут быть обобщены определения для других мо­ ментов дискретных случайных функций. Функция плотности вероят­ ности дискретного случайного процесса также зависит от дискрет­ ного момента времени.

167

Для стационарной случайной функции дискретного аргумента, как и для непрерывной случайной функции, имеем

тх (/г) = const, Кх (/г, /гх) = 1гх (/г— /гх).

Спектральная плотность дискретной стационарной случайной функции определяется по формуле

си

£< “ >= & £

где Тп — период повторения импульсов (такт) исследуемой дискрет­ ной системы. Спектральная плотность стационарной случайной по­ следовательности равна интенсивности соответствующего дискрет­ ного белого шума Vd в интервале

СО

Интегральное каноническое представление стационарной слу­ чайной функции X (/г) выражается через Vd следующим образом [59]:

Дискретный стационарный белый шум X (h) так же, как и непре рывный, имеет постоянную интенсивность

Gd = ~ S dx = const.

* П

При этом корреляционная функция дискретного белого шума имеет вид

Gd при h1 — h2,

kx {hi — lb) — О^б/,,/,.

О при /г2 =?= /г2-

Преобразование случайных функций дискретными системами может быть описано формулами, аналогичными рассмотренным в предыдущих главах для непрерывных систем. В частности для линейных дискретных систем выходная векторная функция Y (т, е) связана с входной векторной функцией X (h) линейным операто­ ром А и выражается формулой

где Ah — произвольный линейный оператор, применяемый к аргу­ менту h. Так как операции оператора Ah и математического ожида­ ния М перестановочны, то, применяя операцию математического ожидания к выражению (6.1), получим

168

Для корреляционной функции выходной переменной также спра­ ведлива формула, аналогичная соответствующему выражению в не­ прерывных системах:

(2.6) и (2.8).

Преобразование начальных моментов второго порядка дискрет­ ными системами также характеризуется формулой, аналогичной выражению (2.9):

Д , (т, г, т±, в О = АкА„Гх (Л, / гД

Для нелинейных дискретных систем так же, как и для непрерыв­ ных, не существует общего точного метода определения вероятност­ ных характеристик выходных переменных по соответствующим вероятностным характеристикам входных переменных. Для опреде­ ления даже простейших вероятностных характеристик дискретных нелинейных систем— математического ожидания и корреляционной функции выходной переменной — необходимо знать законы распре­ деления или моменты высших порядков относительно входных пере­ менных, поэтому при вероятностном анализе дискретных систем так же, как и непрерывных, широко используются приближенные методы определения числовых характеристик случайных выходных переменных.

Общая постановка задачи анализа линейных и нелинейных си­ стем, изложенная соответственно в п. 2.1 и 4.1, может быть обобщена на случай дискретных систем, если все переменные рассматривать как функции дискретного аргумента. Поэтому нет необходимости пов­ торять постановку задачи. Следовательно, к дискретным системам могут быть применены все методы анализа, рассмотренные ранее.

6.2. Метод весовых функций

Для вероятностного анализа линейной дискретной системы может быть применен метод весовых функций, основанный на использова­ нии формулы (1.41), если известны весовые функции дискретной системы.

Для одномерной физически возможной нестационарной дискрет­ ной системы связь между входной и выходной случайными перемен­ ными на основании формулы (1.41) имеет вид

h

у (Л, В) = k=082 (Л, е, k) X (k). (6.4)

Применяя операцию математического ожидания к правой и левой частям выражения (6.4), получим

169