Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 1
Если задан желаемый выходной полезный неслучайный сигнал //т (/), то систематическая ошибка системы вычисляется по формуле
л |
(6.6) |
тЕ (h, е) = £ g (/г, е, к) tn, (к) — уТ (h, е). |
|
к =о |
|
Так как система линейна, на основании формулы (6.3) получаем выражение для корреляционной функции
л |
л, |
|
|
|
|
Ки (h, г, hlt e J = S |
S g (/г, е, |
k) g |
(hlt |
гъ |
/) Кх (к, /). (6 .7) |
к=01=0 |
|
|
|
|
|
Полагая в последней формуле /ц = |
/г, |
= |
е, |
получим формулу |
|
для определения дисперсии выходной |
переменной. |
||||
Важное практическое значение имеет случай, когда входная слу чайная функция представляет собой дискретный белый шум с кор
реляционной |
функцией |
|
|
|
|
|
|
Кх (k, |
I) |
= G,Ai- |
|
|
(6-8) |
Подставляя выражение (6.8) в формулу (6.7), получим |
|
|
||||
Ки (h, |
min (Л.ftI) |
е, /г) g (hlt ex, |
/г). |
(6.9) |
||
е, /г2, ех) = Gd |
£ |
g (h, |
||||
|
|
*=o |
|
|
|
|
В частном случае при /гх = |
h, |
ех = е из выражения |
(6.9) |
полу |
||
чаем формулу для определения дисперсии |
|
|
|
|||
|
Du (h, г) = |
Gd |
h g 2 (h, |
е, к). |
|
(6.10) |
|
|
|
А = 0 |
|
|
|
Если полезный сигнал является неслучайным, то формулы (6.7) и (6.9) определяют корреляционную функцию ошибки одномерной дискретной системы, а при h = 1гъ ех = е — дисперсию ошибки.
Изложенный метод применим также к многомерным системам. В этом случае должна быть задана или определяться из уравнений матрица весовых функций дискретной системы G (h, е, к) с компо нентами g;j (h, е, к), где j — один из входов, i — один из выходов. При этом справедливы формулы (2.17)—(2.19), которые для дискрет ной системы должны быть использованы с учетом зависимостей
(6.7)—(6.10).
Например, корреляционные функции для выходных переменных
многомерной |
системы |
|
|
|
|
|
т |
h |
hj |
|
8, k ) g M ( l l u E U l) Kx (к, /). |
Кущ (Л, е,1ц, |
еО = £ |
S |
t i |
Sip ( l h |
|
|
p, p=i к=о ;=о |
|
|
||
|
(l, |
j |
= |
1, . . ., |
n) |
170
6.3. Метод передаточных функций
Условия применения метода передаточных функций для дискрет ных систем такие же, как и для непрерывных. Дискретная система должна быть стационарной и устойчивой, действующие возмущения стационарными.
Прежде всего рассмотрим дискретную одномерную линейную систему (рис. 6.1), состоящую из линейных дискретных и непрерыв ных частей, на вход которой действует непрерывный сигнал U (t), имеющий в дискретные моменты времени t = НТП значения U (к)
при /г = 0, 1,2, . . .:
U (Л) = ,пи (/г) + N (/г),
где ти (h) — полезный неслучайный сигнал; N (/г) — случайная стационарная помеха, имеющая постоянное математическое ожидание. При этом будем считать, что дискретная часть включает импульсный элемент или цифровое устройство с входными и выходными преобра зователями.
В установившемся режиме выходной сигнал дискретной стацио нарной устойчивой системы в общем случае для непрерывного мо мента времени t = НТП+ гТп, 0 ^ е ^ 1 выражается формулой
(см. п. 1.5)
СО |
|
Y(h, е )= 2 и»(/, е) и (/г — /), |
(6.11) |
1=0 |
|
где w (/, е) — весовая функция (весовые коэффициенты) дискретной стационарной системы для смещенного (непрерывного) момента вре мени.
Предположим, что задана идеальная линейная операция над входным полезным сигналом mu (t), характеризующая желаемый (теоретический) выходной сигнал i/T(t), t — hTn\
Ут(/г) = L [mu Щ = £ - L Ф<Л) (0) m(ur) (h), |
(6.12) |
r=0 ri |
|
<D‘r) (0) — г-я производная передаточной функции идеальной системы, в частых случаях Ф|0) = 1, ФтГ) = 0, г =j=0 для следящей системы,
Рис. 6.1. Структурная схема дискретно-непрерывной системы
171
ср'11 = |
1, Ф^г) = |
0, г Ф 1 для дифференцирующей системы, Ф|0) |
= 1, |
фф> = |
1, ф<г) = |
0, г =j=0; 1 для упреждающей системы, т\Р — |
про |
изводные /'-го порядка функции ти (/).
В соответствии с формулой (2.1) мгновенная ошибка дискретной
системы |
|
Е (/г, е) = У (/г, е) — уТ (/г, е), |
(6.13) |
где Y (/г, е) и ут (/г, е) определены формулами (6.11) и (6.12) соот ветственно.
Применив операцию математического ожидания к выражениям (6.11) и (6.13), получим математические ожидания выходной перемен ной и ошибки
гпу (/г, е) = |
Е w (/, |
е) [т„ (/г— 1) -f mjV]; |
(6.14) |
|
1=0 |
|
|
mE(/г, е)= |
(/г, е) — |
£ тг фтГ) (0) »1,(Г) (/г). |
(6.15) |
Полезный сигнал ши (/) обычно является медленно меняющейся функцией времени, и его можно представить в виде выражения (2.27). Для дискретного аргумента формула (2.27) принимает вид
СО
пги (/г — /) = ^ (—1)Гyj- m(ur) (Л). |
(6.16) |
г^О |
|
Подставляя выражение (6.16) в формулы (6.14) и (6.15), получим
|
со |
|
|
|
|
my (h, е )= |
] § ( —l)r 7 j- \ir (г) m{ur) (h) + mNn0(e); |
(6.17) |
|||
mE(h, e )= £ |
С г ф т ^ М + 'ЯлдоДе), |
(6.18) |
|||
|
л=0 |
|
|
|
|
где введены обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
!д (е) = |
£ |
^ (*,е); |
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
(/• = |
0 , 1 , 2 , . . . ) |
(6.19) |
||
е д |
= ( - 1 ) г ^ г (рл(е)-Ф <0 (0)); |
|
|||
|
(/• = |
0, |
1, |
. . ., п) |
|
Сл(е) = ( - 1 )'^ - М е ) .
(г = я + 1, я + 2, . . .)
172
Величины Сг по аналогии с непрерывными системами называются коэффициентами ошибок [44, 50, 73]. Входящие в выражения (6.19) моменты весовой функции рг (е) выражаются через передаточную функцию дискретной системы.
Если функция дискретной физической возможной системы свя зана с весовой функцией формулой (1.57), то для вычисления момен
тов р,г (е) могут быть использованы формулы |
[44, 73 ] |
||
14 (е) = |
'с1гФ (s, |
е) |
|
dsr |
s=0 |
|
|
|
|
||
(г = 0, 1, 2, . . .) |
( 6.20) |
||
Эти формулы могут быть переписаны в другой форме, более удоб ной для вычислений, если учесть формулы (1.60) [44, 73]:
р0(8) = ¥ (г, |
е) |г=1 = |
4я (1, |
8); |
|
||
14 (е) = |
[Тпг ^ И |
- ] г=1 = V |
(1, |
8); |
||
14 (в) = [ Пг 2 |
+ Я * |
|
г=1 = |
|||
= T l Y ( 1, |
е) + |
Г -¥ '(1, |
е); |
(6.21) |
||
.. / „ \ _ |
42¥ (г, е) |
| гр |
,d3X±¥ (г, е) |
, |
||
М-з (в) — |
[7 п2 -------------Г 1 |
п2-------------Г |
||||
I ^3,d¥(z, е) |
z=i = t I Y ( 1, в) + |
|
||||
п |
[dz |
|
|
|
|
|
+ |
П [Т '(1 , |
8) + |
Г (1 , В)]. |
|
||
Передаточная функция Ф (s, |
е) или ¥ (г, |
е), г = еsT"определяет? |
||||
ся по обычным правилам (см. п. |
1.6), |
если заданы разностные уравне |
||||
ния всей системы или передаточные функции отдельных ее частей. Вычитая почленно выражение (6.14) из выражения (6.11) и (6.15)
из (6.13) с учетом формулы (6.12) для случайной составляющей вы ходной переменной и ошибки системы, получим зависимость
СО |
|
|
Е° (Л, е) = У° (/г, в) = 2 |
ш'(/, в) № (/г— /), |
(6.22) |
( = 0 |
' |
|
где № (/г — /) — дискретный случайный процесс на входе системы. Представим центрированную дискретную случайную функцию
№ (/г— /) в интегральной канонической форме [59]:
Я - "
№ (h — l)= J |
: . . (6.23) |
Л |
|
~4Г |
|
'(ft — I = 0; ±1, |
. . .) |
173