Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

где Vd (со) — белый шум с интенсивностью, равной спектральной

плотности S°n (со) стационарной случайной последовательности

№ ( h — l).

Подставляя выражение (6.23) в формулу (6.22) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

Я

т

частотная характеристика дискретной системы. Далее, пользуясь общим правилом определения дисперсии случайной величины, вы­ числим

(6.25)

Но корреляционная функция белого шума Vd (со) имеет вид

kVd(со — со’) = SdN б (со — со ).

Подставляя это выражение для корреляционной функции в фор­ мулу (6.25), получим

Я

Для вычисления интеграла в формуле (6.26) выполним некоторые

174

Интегрирование в формуле (6.27) осуществляется вдоль единич­ ной окружности. Чтобы свести этот интеграл к табличному, проведем дальнейшую замену переменных z на w по известной из теории функ­

ций комплексного переменного формуле

1+ W

Z = -1г—-1—W .

При этом окружность единичного радиуса, по которой осуществ­ ляется интегрирование по z, превращается в мнимую ось, так как

при z =^е'шГп переменная

Функции ¥* и рм являются дробно-рациональными относительно переменной £, а их коэффициенты — действительными числами. В этом случае подынтегральное выражение в формуле (6.31) может быть представлено в следующем виде:

В результате формула (6.26) приводится к известным уже выра­

Эти интегралы вычисляют с помощью таблиц, приведенных в при­ ложении 2.

Для определения вероятностных характеристик ошибок на каж­ дом выходе многомерной линейной дискретной системы, имеющей несколько входов и выходов, служат формулы, аналогичные форму­ лам (6.17), (6.23). При этом необходимо учитывать реакции на рас­ сматриваемом выходе от всех входных сигналов.

175

Перейдем к анализу нелинейной дискретной системы. Рассмотрим одномерную стационарную дискретно-непрерывную систему, имею­ щую дискретные части с передаточными функциями г1гд1 (г), Ч'д2 (г), непрерывную часть с передаточной функцией гРи (г) и одну безынер­ ционную нечетную нелинейность ср в непрерывной части, как изо­ бражено на рис. 6.2. Входной сигнал системы U (t) имеет полезную неслучайную составляющую ти (t) и случайную стационарную ад­ дитивную помеху N (/). Для дискретных моментов времени t = hTn, h = 0 , 1 , . . . входной сигнал

U (/г) = ти (/г) + N (/г).

Пусть идеальная операция L, характеризующая желаемый вы­ ходной сигнал уТ (/г, е), в общем случае для непрерывного выхода имеет вид выражения (6.12). Мгновенная ошибка определяется фор­ мулой (6.13).

Для анализа дискретной нелинейной системы применим метод статистической линеаризации. В рассматриваемом случае на основа­ нии формул, приведенных в п. 1.8, нечетную нелинейность предста­

После такой замены нелинейности рассматриваемая дискретная система формально может быть описана линейными разностными урав­ нениями и охарактеризована двумя структурными схемами по отно­ шению к среднему и случайному сигналам (рис. 6.3). В установив­ шемся режиме в стационарной системе, имеющей необходимый поря­ док астатизма, в дискретные моменты времени величины пгх и Dx являются постоянными. В этом случае рассматриваемая дискретная система характеризуется стационарными весовыми и передаточными функциями. Пользуясь соответствующими структурными схемами (рис. 6.3), определяем передаточные функции дискретных систем при е = 0 от входа U до двух выходов X и Y для математического ожидания и флуктуирующей центрированной составляющей. Эти передаточные функцииимеют вид соответственно: для пгх и ту

Рис. 6.2. Нелинейная дискретно-непрерывная система

176

CD

Ф

Математическое ожидание ошибки тЕ выражается зависимостью, аналогичной формуле (6.18):

- Щ г );

p A f ( ' i ) = - f ^ S V ( l r 7 l n 1 — i \ ) ’

Sjv — спектральная плотность дискретного стационарного случай­ ного процесса №.

Интегралы в формулах (6.43) и (6.44) вычисляют с помощью таб­ лиц и выражают через параметры дискретной системы и коэффи­ циент (пгх, Dx).

нелинейных систем обобщается на более сложные системы, имеющие несколько нелинейностей. При этом, как и для непрерывных систем (см. п. 2.4), объем вычислений возрастает пропорционально числу нелинейностей.

6.4. Метод интегрирования уравнений системы

Рассмотренный ранее метод интегрирования уравнений применим также к дискретным нестационарным линейным системам.

Одномерная дискретная линейная нестационарная система харак­

178