Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

где

F (Л, h) = Ц аг (/г) А/,;

Г=1

m

Я (А, /г) = 2 6Г(/г) А*;

Г=1

А/, — разностный оператор г -г о порядка.

Для применения метода необходимо представить случайное воз­ мущение X (h) разложением по случайным параметрам подобно вы­ ражению (2.51):

Применяя принцип суперпозиции и используя выкладки, ана­ логичные приведенным в п. 2.5 для определения ту (Л, е) и коорди­ натных функций ijj (h, е). получаем уравнения

раз решить исходную систему уравнений при определенных началь­ ных условиях.

Уравнение (6.48) следует интегрировать при заданных начальных условиях для переменной ту (0) и ее п — 1 разности. При интегри­ ровании уравнения (6.49) начальные условия могут быть учтены

где Dj = М [К?] — дисперсия первого случайного коэффициента разложения (6.46); Ядг^(0)— дисперсия г-ой разности функции Y

После решения разностных уравнений (6.48) и (6.49) определяют т.и (/г, е) и г/у- (/г, е) для любого момента времени t — (h + в) Тп,

h = 0, 1, . . ., О < в <; 1.

Корреляционную функцию переменной Y (/г, в) вычисляют по следующей формуле:

N N

где Dj = М [К/].

Если для рассматриваемой дискретной системы задана некоторая идеальная линейная операция преобразования полезного сигнала

то ошибка в системе определяется формулой (2.62). Для математи­ ческого ожидания и дисперсии ошибки дискретной системы спра­ ведливы формулы, рассмотренные в п. 2.5 и записанные для дискрет­ ного аргумента.

Так решается основная задача оценки точности дискретной одно­ мерной линейной системы при использовании метода интегрирова­ ния уравнений состояния.

Рассмотрим нелинейные системы. Уравнение одномерной дискрет­ ной нелинейной системы, аналогичное выражению (4.40), имеет вид

F (А, К) Y (Л, в) + R (А, К) <p IY (/г, в) ] = Я (A, h) X (/г), (6.54)

где ф — нелинейная характеристика.

Для уравнения (2.39) должны быть заданы начальные условия такие же, как для уравнения (6.45).

Случайное возмущение необходимо представить в виде выраже­

Для применения излагаемого метода нелинейность ф необходимо линеаризовать любым способом (см. п. 1.8). Рассмотрим более общий случай статистической линеаризации нелинейности для дискретной переменной:

Подставляя выражение (6.56) в уравнение (6.54) и пользуясь принципом суперпозиции, с учетом формулы (6.55) получим уравне­

180

ния для математического ожидания и координатных функций пере­ менной:

F (А, /г) 1пу (/г, е) + R (А, /г) ср0 = Я (А, /г) mA.(/г); (6.57)

Т7 (А, /г) г/у (/г, е) + 7? (A, h) kxlJj (/г, е) = Я (А, /г) Xj (Л). (6.58)

(/ = 1, • ■ Я)

Уравнения (6.58) для координатных функций любого номера оди­ наковы, но связаны между собой и с уравнением (6.57), что обуслов­ лено зависимостью ср0 и 1гх от ту и Dy. Поэтому полученные раз­ ностные уравнения необходимо интегрировать совместно, дополнив формулами

При интегрировании разностных уравнений (6.57) начальные условия должны быть заданы в виде математических ожиданий пере­ менной У и ее п — 1 разностей для начального момента времени. Начальные условия для уравнений (6.58) задаются и выбираются в соответствии с формулами (6.50).

Изложенный метод исследования точности .нестационарных диск­ ретных систем обобщается на многомерные системы и нелинейные системы со многими нелинейностями аналогично тому, как это сде­ лано в п. 2.5 и 4.4 для непрерывных систем.

6.5.Метод интегрирования уравнений моментов

Кдискретным линейным системам можно применить метод со­ ставления и решения уравнений корреляционных моментов. Для этого их уравнения должны быть приведены к форме выражения (1.18). Рассмотрим для упрощения обозначений дискретный выход

(в = °)

/= 1

(k = 1, • ■., п)

где Vk (/г) — дискретный белый шум, имеющий отличное от нуля математическое ожидание. Применяя операцию математического ожидания к уравнению (6.60), получим систему разностных уравне­ ний для определения математических ожиданий всех переменных

Для осуществления численного интегрирования этих уравнений должны быть заданы значения математических ожиданий всех пере­ менных в начальный момент времени, т. е. при /г = 0.

181

Путем почленного вычитания уравнений (6.61) из уравнений (6.60) получим систему разностных уравнений для центрированных случайных составляющих

1= 1

(/г = 1, . . ., п)

Пользуясь уравнениями (6.62), составим разностные уравнения для определения корреляционных моментов переменных. Как и для непрерывных систем, обозначим через

0// (А) = М [У? (Л) У/ (Л)]

корреляционный момент переменных У? (/г.) и У9 (/г) и запишем формулу первой разности для этого момента

А0,у (Л) = М [ДУ° (/г) У/ (/г) + АУ? (/г) У? (Л) +

(', / = К ■• »)

Используя уравнения (6.62) и подставляя выражения для А У? (/г) в формулу (6.63), получим

Д0,-у (А) = S [а/Г (А) в{/ (/г) + а/г (/г) 0Г/ (/г)] +

/•=1

+ bt (А) М [У? (/г) У? (/г)] + Ь,- (А) М [У? (/г) У? (А)] +

+bi (h ) £ air(h)M\Y°r (h)V0i(h)} +

Г= 1

Значения выходных переменных физически возможной дискретной многомерной системы выражаются через входные переменные фор­ мулой

;= 1 г=о

где |f.; (/г, /-) — весовые коэффициенты дискретной линейной системы, соответствующие i-му выходу и I-му входу.

Вычислим корреляционные моменты М [ У9 (А) У9(А)], исполь­ зуя формулу (6.65):

;= 1 г—0

(i, / = 1, . . . . /г).

182