Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 207
Скачиваний: 1
Но функция У9 (/г) представляет собой случайную дискретную после
довательность импульсов, у которой отсутствует корреляционная зависимость между ними. Однако между собой эти дискретные после довательности могут быть коррелированы, тогда корреляционные функции их имеют вид
ЛГ [W (Л) V?(Л)] = (Л) 6Аг, |
(6.67) |
где
1, h = r, б/,г — О, /г =/--■г,
Gtj — взаимный корреляционный момент связи дискретных белых шумов.
Подставляя выражения (6.67) в формулу (6.66), получим
М [У? (/г) У/ (/г)] = S |
Gtj (/г)gn (/г, И) = 0, |
(6.68) |
([, у'=1, |
. . ., я) |
|
так как весовые коэффициенты git (h, h) = 0 при одинаковых зна чениях первого и второго аргумента [58]. Учитывая формулы (6.67) и (6.68), уравнения (6.64) для корреляционных моментов переменных дискретной линейной системы можно записать в следующем виде:
АМ Л) = 2 air{h)Qrj(!i) + air{h) Qri (h) |
|
||
+ alr(h) Ц aip(h)Qrp(h) + |
й,(/г)/;/ (/г) Gu (h). |
(6.69) |
|
p = i |
|
|
|
В уравнениях (6.69) следует учесть, |
что 0(/- (h) = |
0/(- (/г). |
Поэтому |
число независимых уравнений равно 0,5/г (я + 1), |
где п — порядок |
||
исходной системы разностных уравнений.
При интегрировании разностных уравнений (6.69) следует задать начальные значения всех корреляционных моментов для /г = 0. В результате интегрирования уравнений (6.61) и (6.69) определяют значения математических ожиданий и корреляционных моментов связи переменных для последовательности дискретных моментов времени.
Для оценки точности по любой из переменных можно применить формулы (2.2) и (2.4).
Рассмотрим нелинейные дискретные системы. Нормальная форма разностных уравнений нелинейной дискретной системы имеет вид уравнения (1.17). Для упрощения обозначений рассмотрим систему
с дискретным выходом (е = |
0). |
Тогда уравнения можно |
записать |
в следующей форме: |
|
|
|
А У* (/г) = ФА(/г, |
Уlt |
. . ., У„) + bk(h) Vk (h), |
(6.70) |
(/г = 1, . . ., я, h = 0, 1, . . .)
где фА— произвольная нелинейная функция.
183
Для анализа этих систем так же, как и непрерывных, применим приближенный метод, основанный на линеаризации нелинейностей ср,,. В общем случае следует осуществить статистическую линеаризацию функций срА:
9к (Л, Ylt .... Y„) == cp/;0 (/?., mu., 0(/) + |
|
-1- fi kkr(h, mu., Qif)Y°r(h), |
(6.71) |
Г = 1 |
|
где tny. (h) — математические ожидания; 0f/- (li) — корреляционные
моменты связи переменных У° (t); (pft0 — статистическая характе ристика нелинейности; kkr — статистические коэффициенты усиле ния. Подставляя выражения (6.71) в уравнение (6.69) и формально пользуясь принципом суперпозиции, получаем нелинейную (в общем случае) систему разностных уравнений для математических ожиданий и линеаризованную систему для центрированных составляющих:
АтУк (/г) = |
Ф*о (Л. тУ1, 0,,) -!- Ьк (/г) тщ (/г); |
(6.72) |
AYl (h) = £ |
К 0h, тц., 0t/) Y°r (Л) + bk (/г) V°k (li). |
(6.73) |
Уравнения (6.73) служат для составления разностных уравнений, определяющих корреляционные моменты (li). Эти уравнения со ставляют аналогично уравнениям (6.69):
AQu (h) = £ |
k i f i r j |
( h) |
+ |
k j f i n ( h) + |
|
Г=1 |
|
|
|
|
|
+ ^ i r Xi k j p ^ r p |
(h ) |
+ |
bt (h) bj-Gij (li). |
(6.74) |
|
p = i |
|
|
|
|
|
(i, / = 1 , |
.. ., |
n) |
|
||
Уравнения (6.72) и (6.74) в отличие от соответствующих уравне ний (6.61), (6.69) связаны между собой через функции cpft0 и kir, которые зависят от математических ожиданий и корреляционных мо ментов связи переменных Yk (li). Поэтому эти уравнения, число которых равно 0,5д (я + 3), необходимо интегрировать совместно, присоединив к ним выражения для срА0 и 1гкг. Для их решения не обходимо задать начальные значения математических ожиданий и корреляционных моментов связи переменных.
Путем однократного интегрирования уравнений (6.72), (6.74) определяют вероятностные моменты переменных в последовательные дискретные моменты времени. Если задан желаемый выходной сиг нал., то по формулам (2.2) и (2.4) определяют характеристики точности работы исследуемой нелинейной системы.
Г л а в а 7 |
Д И С К Р Е Т Н Ы Е СИСТЕМ Ы |
7.1. Система стабилизации
Определим математическое ожидание и дисперсию ошибки в уста новившемся режиме для системы стабилизации нулевого значения выходной величины Y (рис. 7.1) с импульсным линейным корректи рующим устройством, содержащим 6-импульсный элемент, при дей ствии на систему стационарного случайного процесса X (t) — тх + + Х° (/) с постоянным математическим ожиданием тх и интервалом корреляции, величина которого меньше периода повторения Тл.
Передаточная функция разомкнутой системы определяется по таблице 2-преобразования и имеет вид
^ p (z) = T ^ T . |
(7-1) |
Передаточная функция замкнутой системы
¥(z) = |
У Р (?) |
кг |
(7.2) |
1+ Т р (г) |
(1 + / г ) г - Г |
Математическое ожидание ошибки ту определим по формуле (6.17):
ту = т.щ0 = mxXf (1) = тх. |
(7.3) |
Перейдем к определению дисперсии ошибки стабилизации. Так как рассматриваемая система содержит импульсный элемент, период повторения импульсов которого больше интервала корреляции слу чайного процесса, то на вход системы подается последовательность случайных некоррелированных импульсов (импульсный белый шум) с периодом повторения Тп. Спектральная плотность стационарной последовательности некоррелированных импульсов — величина постоянная:
od |
ТпР |
6д: ~ |
2я ’ |
где D — дисперсия импульса. |
|
Рис. 7.1. Дискретная линейная система
185
Переходя по формуле (6.28) от переменной Sd к переменной z, введем спектральную плотность'.
d |
2п D. |
Yv |
Затем применим ш-преобразование, перейдя к переменной w от переменной z в формулах (6.30) для XF (z) и v^.. В результате получим
(ш) |
*(1+ц>) |
. |
И = |
V* |
|
(7.4) |
|
|
(2 + к) w-|- к |
’ |
|
|
|
|
|
Подставив выражения (7.4) в формулу |
(6.31) |
и сделав |
замену |
||||
w = г£, получим |
|
|
|
|
|
|
|
n _ _ L Т |
I *0 + *£) |
|
2D |
dl. |
(7.5) |
||
у ~ |
2л J |
| (2 + |
k ) i l + k |
1+6* |
|||
Выражение (7.5) приводится к стандартному табличному интег ралу, который можно вычислить. В результате получаем
kD |
(7.6) |
Dу ~ к + 2 |
Рассмотрим нелинейную систему. Определим математическое ожи дание и дисперсию ошибки системы стабилизации нулевого значе ния (рис. 7.2).с б-импульсным нелинейным корректирующим уст ройством релейного типа <p (X) = I sign X в установившемся режиме при действии на систему стационарного случайного возмущения вида N = тп + №, интервал корреляции которого меньше периода повторения Тп, и с постоянным математическим ожиданием.
Применим статистическую линеаризацию нелинейности (прило жение 3):
ф (X) = /г о (rnx, Dx) tnx -\- k x (mx, Dx) X°, |
(7.7) |
где |
О |
|
После линеаризации исходную систему заменяют двумя линеа ризованными, структурные схемы которых представлены на рис. 7.3.
Рис. 7.2. Дискретная нелинейная система
186
В)
Рис. 7.3. Статистически линеаризованная дискретная система:
а — для математического ожидания; б — для случайной составляющей
Определим передаточные функции для этих линеаризованных си стем. В данном случае необходимо определить передаточные функции ¥*0 (2), ¥ у0 (г) по структурной схеме на рис. 7.3, а для выходов тх и ту, а также функции ЧСх (2), Чгух (г) по структурной схеме на
рис. |
7.3, б для выходов Х° и Y 0 в установившемся режиме. Приме |
нив |
z-преобразование, получим |
Гг,о(г)
(г)
2 — .
(1 + k k 0) z — 1
(1 4- k k 0) z —
wxl (z) = |
(1 +АЛ1)г- 1 |
(7.8) |
(*) = |
kkyZ |
(7.9) |
(1 + k k j) z — 1 |
По формулам (6.39) и (6.40) с учетом формул (6.21) находим
т. 0; т„ т„ |
(7.10) |
Таким образом, в данном случае ту определяется достаточно про сто, а коэффициент k x зависит только от Dx, так как тх = 0.
Преобразуем формулу для гГЛ.1, перейдя к переменной w:
|
'I'a* (w) |
2w |
|
(7.11) |
|
[ 2 + ^ i ( D J l w + k k ! (Dx) |
|||
|
Спектральная плотность дискретной случайной помехи |
(пи) = |
||
— D/2п, где D — постоянная дисперсия случайных импульсов. За |
||||
меним в формуле (7.11) |
w = fg и подставим выражения для |
(it) |
||
и |
в формулу (6.43): |
|
|
|
|
|
с о |
2D |
|
|
|
|
(7.12) |
|
|
|
[2 + A*il |
1+ I 2 d t |
|
|
Вычисляя интеграл в формуле (7.12), |
получим |
|
|
|
|
2D_______ |
(7.13) |
|
|
|
[2 -(- kkx] [1 + £&il ’ |
||
|
|
|
||
187
где
21
ki — V 2лDx
Из уравнений (7.13) определяем Dx:
кЧ*
D*=l-^k+V°+ 8л
Для определения Dy вычислим
¥ ,* (и>) — _____kklW_____. |
|
У1 ' ' |
(2 + klii) w+ kki_ |
(7.14)
(7.15)
Заменяя в выражении (7.15) w = ig и подставляя в формулу
(6.44), находим
kki (1 -г it) D* = Т Г (2 + kkj) il + kki
После вычисления интеграла получим
D |
— D —ккх ■ |
у |
kki + 2 |
7.2. Автодальномер
2D_ |
(7.16) |
|
+ £: |
||
|
Для решения различных задач необходимо знать дальность до объектов, наблюдение за которыми осуществляется радиолокаторами. Если радиолокатор работает в импульсном режиме, то дальность до цели можно определить, измеряя временный интервал между моментами излучения и приема отраженного от цели одного и того же импульса. Поскольку скорость распространения электромагнитных волн постоянна, то время от момента излучения до момента приема импульса равно удвоенной истинной дальности до цели Д, поделен ной на скорость света:
к = |
(7.17) |
Для автоматического измерения дальности в радиолокаторах имеется специальное устройство — автодальномер. Принцип работы автодальномера заключается в следующем. С момента излучения импульса начинается отсчет времени. Отраженный от цели импульс воспринимается приемником, и фиксируется время его прихода. Однако определение момента прихода импульса обычным способом дает большие ошибки. Для повышения точности используют метод деления видеоимпульса пополам. Идея этого йетода заключается в соз дании следящей системы, вырабатывающей два полустроба, которые накладываются на отраженный импульс, и сравнении площади пере крытия левого и правого полустроба с импульсом от цели [41, 51]. Разность площадей перекрытия полустробов и импульса цели яв ляется управляющим сигналом для смещения во времени полустро-
188