Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Суммируя полученные результаты, приходим к выводу, что для нахождения оптимальной линейной системы по критерию минимума средней квадратической ошибки в общем случае необходимо выпол­ нить следующие операции:

решить интегральные уравнения (10.88), определяющие весовые функции согласованных фильтров g 1 (t, т)..........gN (t, т);

вычислить по формулам (10.89) коэффициенты ЬРг (/); определить оптимальные коэффициенты усиления выходных сиг­

найти минимальный средний квадрат ошибки оптимальной си­ стемы по формуле (10.93).

Методы решения интегральных уравнений типа (10.88) изложены в работах 156, 58]. Здесь рассмотрим один способ, который в боль­ шинстве частных случаев, когда помеха N (I) стационарна, дает возможность достаточно просто решать уравнения вида (10.88). Этот способ можно применять, если помеха представляет собой ста­ ционарную случайную функцию с дробно-рациональной спектраль­ ной плотностью S N (со), а функции cpr (t) представляют собой полиномы, тригонометрические полиномы или вообще линейные комбинации произведений полиномов на тригонометрические или показательные функции.

В частном случае, когда помеха стационарна, KN (t', т) = = kN ( f — т), и определяется оптимальная стационарная линейная система с памятью Т, уравнение (10.88) принимает вид

Для решения интегрального уравнения (10.95) в рассматривае­ мом случае представим функцию срг (t — л) формулой

а спектральную плотность помехи SN (со) выразим в виде

285

где Р (со2) и Q (со2) — полиномы относительно со2 степени соответ­ ственно т и п, а Н (ио) п F (гсо) — полиномы тех же степеней т и п относительно iсо с положительными коэффициентами. В этом слу­ чае решение интегрального уравнения (10.95) следует искать в виде

П—Ш—1

. /=0

фициентов следует подставить выражение (10.98) в уравнение (10.95). Выполнив интегрирование в левой части этого уравнения, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэф­

Решив эти уравнения и подставив полученные значения неизвест­ ных коэффициентов в формулу (10.98), найдем решение интеграль­

стационарного случайного сигнала

В задачах, рассмотренных в предыдущих параграфах, полезный сигнал S (/) представляет собой регулярную функцию времени, зависящую от случайных параметров 0 1, . . ., UN. Однако в неко­ торых практических задачах полезный сигнал содержит наряду с регулярной функцией времени и нерегулярную часть, представ­ ляющую собой случайную функцию, которую нельзя аппроксими­ ровать линейной комбинацией сравнительно небольшого числа детерминированных функций со случайными коэффициентами. Чтобы научиться находить оптимальные системы и для таких полезных сигналов, рассмотрим задачу определения оптимальной стационарной линейной системы в случае, когда входной сигнал X (/), представляю­ щий собой сумму полезного сигнала S (t) и помехи N (t), является стационарной случайной функцией времени, а требуемый выходной сигнал YT (/) есть стационарная случайная функция, стационарно связанная с входным сигналом X (/). Обычно в практических задачах требуемый выходной сигнал YT (t) представляет собой ре­ зультат некоторого линейного преобразования полезного сигнала S (/), содержащегося во входном сигнале X (/). При этом ограничимся рассмотрением оптимальной системы с бесконечной памятью, время работы которой достаточно велико, чтобы можно было его считать

286

бесконечным, и предположим, что математическое ожидание тх вход­ ного сигнала X (/) равно нулю.

Допустим сначала, что входной сигнал X (I) представляет собой белый шум, интенсивность которого равна G и, следовательно, спектральная плотность S 0 = G!2л. Обозначим через g (т) искомую весовую функцию оптимальной стационарной линейной системы. Тогда выходной сигнал этой системы Y (() выразится формулой

СО

Y(t)= [ g (т) X (I — т) dx.

6

Ошибка системы

Е (() = J g (т) X (I — т) dr — Ут(/).

О

Отсюда находим средний квадрат ошибки системы

со со

1] = М [Е2 (01 = G j g2(т) dx — 2 \ g (т) ky^ (т) dx -f Du

оо

где (т) — взаимная корреляционная функция требуемого вы­ ходного и входного сигналов, a D,,r — дисперсия требуемого выход­

ного сигнала. Дополним первые два слагаемые в предыдущем ра­ венстве до полного квадрата. В результате получим

Отсюда непосредственно видно, что средний квадрат ошибки будет иметь минимальное возможное значение, если весовую функцию g (т) оптимальной системы определить формулой

Заменив здесь взаимную корреляционную функцию требуемого выходного и входного сигналов ее выражением через взаимную спек­ тральную плотность тех же сигналов 5// Л.(со):

Эта формула определяет весовую функцию оптимальной системы только при х ^ 0. При т < 0 g (т) = 0. Ограничимся случаем дробно-рациональной взаимной спектральной плотности требуе­

287

мого выходного и входного сигналов. Чтобы найти выражение g (т) при всех т, разложим рациональную дробь S,/ v (со) на элементарные дроби и обозначим через [5^. (со)]+ сумму всех дробей с полюсами

Формула (10.102) определяет весовую функцию оптимальной системы g (т) при всех значениях т, так как [56]

СО

J [S,/t.v( с о ) ] _ ц е'ит dw — О при т < 0.

—00

Заменив интенсивность G входного сигнала ее выражением через спектральную плотность G = 2л50, приведем формулу (10.102) к виду

Наконец, сравнив эту формулу с известным выражением весовой функции стационарной линейной системы через ее частотную харак­ теристику

СО

g(t) ■- 2^г J xF(tco)e''“Mco,

— со

находим частотную характеристику оптимальной линейной системы

Таким образом, для нахождения частотной характеристики опти­ мальной стационарной линейной системы в случае, когда входной сигнал представляет собой белый шум, следует разложить взаимную спектральную плотность требуемого выходного и входного сигналов на элементарные дроби, отбросить все дроби с полюсами в нижней полуплоскости комплексной переменной со и разделить полученное выражение на спектральную плотность входного белого шума.

288

Найдем средний квадрат ошибки оптимальной системы. Для этого подставим в формулу (10.99) выражение (10.100) весовой функции оптимальной системы. Тогда, принимая во внимание из­ вестное из теории интеграла Фурье равенство Фурье—Планшереля, на основании которого

со со

— СО

Эта формула обычно и служит для вычисления минимального сред­ него квадрата ошибки оптимальной системы.

Рассмотрим теперь общий случай, когда входной сигнал X (t) представляет собой произвольную стационарную случайную функ­ цию с дробно-рациональной спектральной плотностью Sx (со). Вы­ разив эту спектральную плотность в виде

найдем передаточную функцию Ф (s) формирующего фильтра, пре­ образующего белый шум V (0 с единичной.спектральной плотностью 5 о = 1 во входной сигнал X (t). Система с передаточной функцией 1/Ф (s) преобразует входной сигнал X (t) в белый шум V (t). Поэтому для определения оптимальной системы можно использовать прием, рассмотренный в предыдущем параграфе. Оптимальная система будет представлять собой последовательное соединение системы с переда­ точной функцией 1/Ф (s) и оптимальной системы для случая белого шума V (/) на входе. Согласно формуле (10.104) частотная характе­ ристика Ч'о (tсо) оптимальной системы для белого шума V (t) с еди­ ничной спектральной плотностью на входе определяется формулой

Wv(iw) = [SUrV(<о)]+.

Следовательно, частотная характеристика оптимальной системы для входного сигнала X (/) выразится формулой

Заметим теперь, что