где Sy х (со) — взаимная спектральная плотность сигналов YT (t)
и X (t). Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим следующее выражение частотной характеристики оптимальной ли нейной системы:
|
У ,("> |
~ |
(10.108) |
|
Ф (— /со) |
+ |
|
|
Минимальный |
средний квадрат |
ошибки оптимальной |
на основании (10.105) определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
----1
|
~Г-
|
1
|
+ |
= А, |
J |
|
f |
|
|
|[ 'V M ] + f * > = |
Di/, </ |
Ф (— /со) |
|
|
|
Но на основании формул (10.107) и (10.108)
' у (м> ~ |
2 |
Ф (— /со) |
= | Ф (ио) ¥ (ico) Is = I ¥ (/to) Г“ Sx (со). |
|
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим сле дующее окончательное выражение для минимального среднего квад рата ошибки оптимальной системы:
СО |
(10.109) |
if = D„T— j | (tco) |2 Sx (co) dco. |
— CO
Выкладки, выполненные в п. 10.7 для весовых gr (/, т), справедливы и для весовой функции g (t — т) с заменой функции 1г (т) функцией ky v (I — т) и соответствующей функции ер, (s) функцией k,,TX(t — s). Пбэтому функция g (т) удовлетворяет инте гральному уравнению
j kx (g— л) g (g) dl = kyrx(л). |
(10.110) |
(Л S- 0)
Задача определения оптимальной стационарной линейной си стемы с бесконечной памятью для стационарных и стационарно свя занных входного и требуемого выходного сигналов впервые была решена Винером. Несколькими годами ранее такая задача для дискретных систем была решена А. Н. Колмогоровым. Интегральное уравнение (10.110) обычно называют уравнением Винера—Хопфа, а задачу, решенную в этом параграфе, — задачей Винера. Аналогич ная задача для системы с конечной памятью Т приводит к интеграль ному уравнению
j kx [I — 1l) |
g (£) |
kyTx= (л). |
(10.111) |
(0 |
л < |
Т) |
|
Это уравнение решается методом, изложенным в предыдущем параграфе.
10.9. Общий алгоритм определения оптимальной линейной системы
В заключение главы приведем без доказательства общий алго ритм определения оптимальной линейной системы в случае, когда полезный сигнал S (/) содержит как регулярную, так и нерегуляр ную части:
5 (0 = 1 ^ гФ г (0 + 5 ,(0 . |
(10.112) |
г= 1
В этом случае входной сигнал системы выражается формулой
X (0 = Е UЛг (0 + 2 (0, |
(10.113) |
г = 1 |
|
где Z (0 — сумма нерегулярной части полезного сигнала и помехи. Требуемый выходной сигнал выражается формулой
п ( о = Ъ и г% (о + т |
(ю-114) |
г = 1 |
|
где W (t) — результат заданного линейного |
преобразования нере |
гулярной части 5 Х(0 полезного сигнала, а функции фу (t) — резуль таты такого же преобразования соответствующих функций qy (/) — регулярных составляющих полезного сигнала.
Определение оптимальной линейной системы в этом случае сво
дится к выполнению следующих операций. |
|
|
|
1. |
Нахождение |
весовых |
функций |
согласованных фильтров |
|
g о (Л т). g 1 |
(t, |
т), |
. . ., gN (t, |
т) |
|
путем решения интегральных уравнений |
|
|
|
|
t |
i)go{t, |
x)dx = Kwz{t, |
l'), |
(10.115) |
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jx*(*'. |
|
|
T) dx = qy (f). |
(10.116) |
|
|
iо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/„.*£ t' |
< |
t\ |
r = |
1, . . ., |
tf) |
|
2. |
Вычисление |
коэффициентов |
|
bpr (t) |
no |
формуле |
(10.89), |
a также величин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йоо (0 = |
j |
go (t, т) |
(t, т) dx- |
(10.117) |
|
|
|
tО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
(10.118) |
|
|
bpo(t) = |
J go(t, |
T) cpp (x) dx. |
|
|
|
|
|
/ О |
|
|
|
|
|
|
|
|
(p |
= 1, |
• |
• |
N) |
|
|
|
3. Определение коэффициентов усиления выходных сигнал согласованных фильтров Яц, . . XN путем решения системы линей ных алгебраических уравнений
|
N |
- N |
|
|
1 |
N |
|
(10.119) |
|
ъ |
h |
Уrpbps (0 |
+ Srs |
К |
Уг р % |
(О , |
|
S — 1 |
Lp= i |
|
|
J |
/)=1 |
|
|
|
|
|
(Г = |
1..........N) |
|
|
| Ле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ Р(0 = Ф Р( 0 - ^ о ( 0 - |
|
(10-120) |
|
|
|
(р = |
1. • |
• м |
N) |
|
|
4. |
Определение весовой функции оптимальной |
системыпо фор- |
муле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g* (t, т ) |
= go (t, |
* ) + |
£ |
К (0 g r (t, |
t ) . |
( 10. 121) |
|
|
|
|
|
r=1 |
|
|
|
5. Определение минимального среднего квадрата ошибки опт мальной системы по формуле
^ = Ош( { ) - Ь 00({)+У>Хр(1)ир(1). |
(10.122) |
р—1
В частном случае для стационарных и стационарно связанных суммы нерегулярной части полезного сигнала и помехи Z (/) и нере гулярной части требуемого выходного сигнала W (t) интегральные уравнения (10.115) и (10.116) сводятся к интегральным уравнениям типа (10.111) и (10-95). Эти уравнения могут быть решены способом, изложенным в п. 10.7.
Г л а в а 11 |
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ |
|
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
11.1. Фильтр для определения амплитуды сигнала
Задача оценки амплитуды сигнала, наблюдаемого совместно с поме хой, является весьма распространенной в инженерной практике. Пусть наблюдаемый на интервале времени [О, Т ] сигнал представ ляет собой сумму полезного сигнала и помехи:
X (t) = £/Ф (0 + N(t), |
(11.1) |
где U — случайная величина; ср (t) — известная функция |
времени; |
N (t) — помеха. Необходимо построить фильтр, дающий наилучшую по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценку величины амплитуды. Оптимальный фильтр отыскивают в классе линейных систем. Поэтому для решения задачи достаточно знать лишь первые два момента входного сигнала.
Пусть случайная величина U имеет математическое ожидание.m и дисперсию D, а помеха — нулевое математическое ожидание и кор
реляционную функцию |
вида |
|
|
Kn (t, |
t') = |
Gn6 ( t — f). |
(11.2) |
Относительно известной функции ср (t) достаточно потребовать условия интегрируемости с квадратом, т. е. чтобы интеграл от ква драта этой функции на интервале наблюдения был конечной вели чиной.
Предварительно вычтем из наблюдаемого сигнала математичес кое ожидание случайной величины. Тогда наблюдаемый сигнал будет центрированным, что позволит использовать алгоритм опре деления оптимальных систем в классе линейных однородных систем. Опуская обозначение центрированности входного сигнала, предста вим его в виде выражения
X (t) = УФ (0 + М (t),
где V = U — /п — центрированное значение параметра. Оптимальная оценка случайной амплитуды дается соотношением
|
т |
(11.3) |
V* = |
g{T, T)X(T)dx, |
|
о |
|
