где весовая функция g (Т , т) определяется решением интегрального уравнения
т
J g (Т, о) ICN(т, a) da = ср (т). (11.4)
О
(О < Т < Т)
В этом уравнении KN (х, а) — корреляционная функция помехи. Параметр X в формуле (11.3) вычисляют по соотношению
т
к 1+ D [ g (т, т) Ф (т) |
= D. |
(11.5) |
6 |
|
|
Подставляя в интегральное уравнение (11.4) значение корреля
ционной функции помехи (11.2) |
и используя свойство S = |
функции, |
получаем |
весовую функцию |
|
|
|
|
g(T, х) = - ^ - 1 ( Т - х ) , |
(11.6) |
где 1 (Т — х) — единичная |
функция. |
|
|
Вычисляя величину X по формуле (11.5) с использованием соот |
ношения |
(11.6), получаем |
|
|
|
|
|
X = |
|
D |
|
(11.7) |
|
|
т |
|
Таким образом, оптимальная оценка амплитуды сигнала |
|
У * ______ Д/G/V_____ |
г ср (т) X (т) dx. |
(11.8) |
|
V |
т |
|
|
1+ |
j > |
(T) dT |
|
|
|
|
0 |
о |
|
Точность определения оценки характеризуется апостериорной дисперсией
D* = М [(У — V*)2] = М [У2] — М IV*2}.
Данное соотношение справедливо только для оптимальной обра ботки сигналов. Дисперсию ошибки можно представить также сле дующей формулой:
где параметр v характеризует отношение сигнал/шум:
т
v = |
J ф2 (т) dx- |
(п -9) |
|
О |
|
В частном случае, когда cp (I) = s = const, отношение сигнал/ шум
DsT v ~ Gn ‘
Оптимальная оценка параметра для этого случая
о
При отсутствии помехи GN = 0, v = оо, и оптимальная оценка равна истинному значению амплитуды. Действительно,
г
V* = -j.— 1----- |
Г IV (т) dx = V. |
J Ф3 (т) d-r |
\ |
о |
о |
|
Соответственно дисперсия ошибки равна нулю, D* = 0. Оценка центрированной величины, получаемая с помощью ли
нейного однородного оператора (11.8), может быть приведена к пол ному значению. В этом случае оператор оптимальной системы будет линейным неоднородным. Для получения этого алгоритма прибавим к левой и правой частям выражения (11.8) математическое ожидание амплитуды. Тогда получим
г
U*=-y^l<p(T:)X°(T)dx + m. |
( 11. 10) |
о |
|
В этом выражении подчеркнуто, что входной сигнал является центрированным. Для приведения его к полному сигналу восполь зуемся соотношением Х° (т) = X (т) — /тир (т). Подставляя это вы ражение в формулу (11.10) и приведя подобные члены, содержащие математическое ожидание параметра, получаем
|
г |
|
£/* = - Т ^ + |
- ^ 1 ф (т) * ( т)<*т, |
(11.11) |
1 |
о |
|
где отношение сигнал/шум вычисляют по формуле (11.9). Первый член в этой формуле характеризует априорные данные об измеряе мом параметре, а второй — апостериорные данные, получаемые в процессе измерения. При бесконечно большой помехе GN = оо, v = 0 и оптимальная оценка параметра в соответствии с формулой (11.11) равна априорному математическому ожиданию. Это означает, что нецелесообразно проводить наблюдение сигнала, а достаточно в качестве оценки принять априорное математическое ожидание параметра. При уменьшении помехи или при увеличении времени
наблюдения, что приводит к увеличению интеграла от существенно положительной функции в формуле (11.9), отношение сигнал/шум возрастает. Поэтому роль первого члена в формуле (11.11) умень шается. Основной вклад в оценку в этом случае дает второе слагае мое, т. е. процесс обработки реализации наблюдаемого сигнала.
11.2. Оценка коэффициента усиления
Рассмотрим задачу оценки коэффициента усиления безынер ционного объекта, предполагая, что этот объект является одновре менно генератором помехи. Наблюдаемый сигнал предварительно центрируется, и его структура имеет вид
X (/) = Vs + N (t).
Коэффициент усиления V рассматривается как случайная вели чина с нулевым математическим ожиданием, дисперсией D и нормаль ным законом распределения вероятности; s = const — постоянный зондирующий сигнал; N (t) — центрированная гауссовская помеха, содержащая две компоненты:
N(1) = л м о + л м о .
Первая составляющая представляет собой помеху, генерируемую объектом контроля, а вторая описывает собственные шумы измери теля. Будем считать, что собственные шумы измерителя представ ляют собой белый шум с интенсивностью GN. Корреляционная функция помехи объекта контроля имеет вид
Kn, ( т ) =£>Лге-“1'с|.
Корреляционная функция суммарной помехи, при условии некор релированности ее составляющих, определяется формулой
К„(т) = П„е-^1-(-0д,6(т). |
(11.12) |
Требуется определить оптимальную оценку параметра V по кри терию минимума среднего квадрата ошибки. Наблюдение входного сигнала осуществляется на конечном интервале времени Т.
Оптимальная оценка коэффициента усиления определяется фор
мулой
т
У* = -П р т |
(11.13) |
о |
|
где отношение сигнал/шум |
|
т |
|
v = Ds J g (Т, т) dx. |
(11.13а) |
о |
|
Весовая функция g (Т , т) определяется решением интегрального уравнения
т |
|
j g(T, o)KN(r, 6)da = s. |
(11.14) |
О
Подставляя значение корреляционной функции (11.12) в выра жение (11.14), получаем
т |
|
|
Dn [ |
g (Т , a) da + GNg (Т, т) = s. |
(11.15) |
6 |
|
|
Для решения этого уравнения применим к его обеим частям диф ференциальный оператор по переменной т:
Вычислим результат действия оператора на экспоненту:
= |
----а 2^ [1 (а — т) |
1 (т — а) е—сх(т—ст)] |
Единичные функции появились в данном выражении как след ствие снятия модуля с показателя экспоненты. Дифференцируя выражения в квадратных скобках как произведение функций и учи тывая, что производная единичной функции есть 6-функция, полу чаем
(■Jf — а2) е““|т_а| = — 2аб (т — а).
Таким образом, применение дифференциального оператора к урав нению (11.15) дает следующее соотношение:
|
2DNag (Т, т) -f- G,N |
d2g(T, т) |
■a?g(T, т) = |
— sor |
|
di2 |
|
|
|
|
|
|
Приводя подобные члены, представим уравнение в следующей |
|
форме: |
|
|
|
|
|
d2gd i |
т) - Г е Р ' т) = |
- - щ г а2- |
(11Л6) |
|
где |
у2_ |
а2_|_ 2DNalGN. |
|
|
Общее решение данного уравнения имеет вид |
|
|
g(T, ^ |
- ^ |
H + V ^ |
+ ^e-v*]. |
(11.17) |
Неизвестные постоянные Xlt Х2 определяются подстановкой реше ния (11.17) в интегральное уравнение (11.7). После подстановки весовой функции и вычисления интеграла, получаем
|
A y g 3s Г 2 — е Г ах — е ~ а(Г~ т* |
, / А т - е ~ ах |
e (Y—а )Г + а т |
eYT |
|
у — а |
+ |
|
G,\y2 _ |
а |
' |
1\ у -f а |
|
|
|
P-VT |
р—(а+Щ Г+ат _ р—тт |
|
|
+ |
^>2 |
у — а |
у -fa |
+ |
|
|
|
|
a2s (1 + |
+ X2e-v^) = |
s. |
|
Рассматривая это уравнение как тождество, приравнивая коэф фициенты при постоянной составляющей и функциях e_ax, еат,
e-i’T, ei”1, получаем пять уравнений:
|
2Dуa . a2 |
^2 |
*1 |
|
_1_. |
|
Gyу2 ' у2 |
y — |
Т + а |
|
a ’ |
|
|
__ X2e-T7~_ |
_1_. |
|
|
|
Y— a |
y+ a |
a ’ |
|
|
|
2Dуcl |
~ |
2Dya |
= |
0. |
|
Gy (y9— a2) |
1 |
Gy (y2—a2) |
|
|
|
Нетрудно показать, что первое, четвертое и пятое уравнения
выполняются тождественно. Из второго и |
третьего уравнений на |
ходим неизвестные |
|
|
Я,2: |
|
|
|
|
» _ |
|
2Dу [(у + а) — (у — а) е~7Г] . |
|
1 |
|
Gy [(y + а)2еуТ— (Y —а)2еГуТ] |
|
. |
_ |
|
2Dу [(у — а) + (у + а) еУт ] |
|
2 |
|
Gy [(у + а)2еуТ — (у — a)2e~vr] |
|
Из данных формул |
следует, |
что при уТ > 4 |
|
|
|
|
^ |
= |
b2e-vr |
|
(11.18) |
При использовании формулы (11.18) весовая функция |
|
g (Т, т) = |
[ 1 + X2e-vx + |
^e-vcr-x)]. |
(11.19) |
При т = 0 и т = |
Т весовая функция имеет одно и то же значение: |
g (Т, 0) = |
g (Т , Т) |
= |
[1 + |
Я2 (1 + e-v^)]. |
|
Весовая функция имеет минимум по второму аргументу. Диффе ренцируя выражение (11.19) по аргументу х и приравнивая производ ную к нулю, получаем уравнение относительно абсциссы т 0 точки минимума
— Х2у(e_VT°— е—'vr +vTo) = о.
Решая это уравнение, получаем т 0 = 772 при уТ > 4. Значение весовой функции в точке минимума
g(T, 772) = - ^ ( 1 + 2^ “ ^ ) . |
(11.20) |
Вычислим отношение сигнал/шум. Подставляя соотношение (11.17) в формулу (11.13а) и интегрируя его, получаем
Da?s'-T Г _ |
АРу (1 — е+Уг) (у + «) |
( 11.21) |
Gyy2 [ |
TGyy [(у + a)2е?т— (у —a)2e-vT] |
|
Соотношения (11.13), (11.19), (11.21) определяют алгоритм обра ботки наблюдаемого сигнала для получения оптимальной оценки коэффициента усиления.
